Signal Theory

[nicola de rosa]

$S_X(f)=4,-3<=f<2 => S_X(f-5)=4,2<=f<7$

come mai questa espressione non figura nella tua?
Sto sbagliando?

$S_X(f)=4,-3<=f<-2->S_X(f-5)=4,-3<=f-5<-2<=>2<=f<3$

Poi ti rispondo pure per l'altro punto:

$Z(t)=X(t)+Y(t)=X(t)(1+cos(10pit+Phi))$

$R_Z(tau)=E{X(t)X(t+tau)(1+cos(10pit+Phi))(1+cos(10pi(t+tau)+Phi))}$=
$E{X(t)X(t+tau)[1+cos(10pit+Phi)+cos(10pi(t+tau)+Phi))+cos(10pit+Phi)cos(10pi(t+tau)+Phi))]}$=
$E{X(t)X(t+tau)[1+cos(10pit+Phi)+cos(10pi(t+tau)+Phi)+1/2cos(10pitau)+1/2cos(10pi(2t+tau)+2Phi)]}$=
$R_X(tau)[1+1/2cos(10pitau)]$ poichè $int_{0}^{2pi}cos(10pit+Phi)dPhi=int_{0}^{2pi}cos(10pi(t+tau)+Phi)dPhi=int_{0}^{2pi}cos(10pi(2t+tau)+Phi)dPhi=0$

Per cui

$S_Z(f)=S_X(f)+1/4S_X(f-5)+1/4S_X(f+5)=S_X(f)+S_Y(f)$

[nicola de rosa]

Ho i seguenti dati:

$S_X(f)=rect(f/12)-rect(f/4),y(t)=x(t)*cos(8pit+Phi),Phi=x[0,2pi]$
$Y(t)=X(t)*cos(8pit+Phi),H(f)=Krect(f/10)$

determinare $k$ in modo tale che $P_z=P_x$.

Credo che $Z(t)$ sia il segnale $Y(t)$ filtrato da $H(f)$

Innanzitutto $P_X=int_{-infty}^{+infty}S_X(f)df=int_{-6}^{+6}df-int_{-2}^{2}df=12-4=8$

Con i soliti calcoli si ricava $R_Y(tau)=1/2R_X(tau)cos(8pi*tau)->S_Y(f)=1/4[S_X(f-4)+S_X(f+4)]=1/4{Pi[(f-4)/12]+Pi[(f+4)/12]-Pi[(f-4)/4]-Pi[(f+4)/4]}$
=${(1/4,-10<=f<=-6),(0,-6<=f<=-2),(1/2,-2<=f<=2),(0,2<=f<=6),(1/4,6<=f<=10):}$

Ora $P_Z=int_{-infty}^{+infty}S_Y(f)|H(f)|^2df=k^2int_{-2}^{2}1/2df=2k^2$

Ora $P_Z=P_X<=>2k^2=8->k^2=4->|k|=2$

[Ene@]

Sia dato il segnale
$x(t)=6*sinc(6t)-4*sinc(4t)-2*sinc(2t)$
e sia $F_C$ la frequenza minima a cui campionare il segnale per poterlo ricostruire fedelmente dalla serie di campioni.
Il segnale $x(t)$ viene inviato in ingresso ad un filtro lineare tempo invariante la cui funzione di trasferimento è $H(f)=k*rect((2F)/F_C)$ e sia $y(t)$ il segnale in uscita.Determinare $k$ tale che i due segnali abbiano all'uscita la stessa energia.

Sia dato un segnale aleatorio $X(t)$ la cui funzione di autocorrelazione è
$R_X(tau)=16*sinc(4tau)-4*sinc(2tau)+8*sinc(4tau)$.
Sia $Z(t)=2X(t)*cos(4pit+Phi)$ ove $Phiu[0,2pi]$.
Supponiamo che $Z(t)$ entri in un filtro avente $H(f)=A*rect(f/8)$ e sia $Y(t)$ il segnale in uscita.
Calcolare $S_Z(f),P_Z(f)$ e il valore di $A$ affinchè $P_X=P_Y$.

[nicola de rosa]

Sia dato il segnale
$x(t)=6*sinc(6t)-4*sinc(4t)-2*sinc(2t)$
e sia $F_C$ la frequenza minima a cui campionare il segnale per poterlo ricostruire fedelmente dalla serie di campioni.
Il segnale $x(t)$ viene inviato in ingresso ad un filtro lineare tempo invariante la cui funzione di trasferimento è $H(f)=k*rect((2F)/F_C)$ e sia $y(t)$ il segnale in uscita.Determinare $k$ tale che i due segnali abbiano all'uscita la stessa energia.

Sia dato un segnale aleatorio $X(t)$ la cui funzione di autocorrelazione è
$R_X(tau)=16*sinc(4tau)-4*sinc(2tau)+8*sinc(4tau)$.
Sia $Z(t)=2X(t)*cos(4pit+Phi)$ ove $Phiu[0,2pi]$.
Supponiamo che $Z(t)$ entri in un filtro avente $H(f)=A*rect(f/8)$ e sia $Y(t)$ il segnale in uscita.
Calcolare $S_Z(f),P_Z(f)$ e il valore di $A$ affinchè $P_X=P_Y$.

2)$S_X(f)=F[R_X(tau)]=4Pi[f/4]-2Pi[f/2]+2Pi[f/4]$
$P_X=R_X(0)=20$
$R_Z(tau)=2R_X(tau)cos(4pi*tau)->S_Z(f)=[S_X(f-2)+S_X(f+2)]$
$S_Y(f)=S_Z(f)|H(f)|^2$
$P_Y=A^2int_{-4}^{4}S_Z(f)df=20$ e cos' trovi $A$

[Ene@]

Se disegno i vari rettangoli e li sommo deduco i vari intervalli su cui integrare.
una volta determinato $A$, come trovo $S_z$ e $P_Z$?

[Ene@]

Sia $X(t)$ un segnale aleatorio avente $R_X(tau)=16*sinc(4tau)-6*sinc(2tau)+9$.
Sia $Z(t)=X(t)+1$ il segnale che entra in un filtro avente $H(f)=rect(f/6)$ e sia $Y(t)$ il segnale in uscita.
Calcolare $S_Z(f),P_Z,S_Y(f),P_Y$.
Infine calcolare la potenza del segnale $W(t)=X(t)+Z(t)$.

[nicola de rosa]

Se disegno i vari rettangoli e li sommo deduco i vari intervalli su cui integrare.
una volta determinato $A$, come trovo $S_z$ e $P_Z$?

$S_Z(f)=S_X(f-2)+S_X(f+2)$
$P_Z=int_{-infty}^{+infty}S_Z(f)df$

nota che $P_Z,S_Z(f)$ sono indipendente da $A$. Semmai $P_Y,S_Y(f)$ dipendono strettamente da $A$ per come è la traccia

[nicola de rosa]

Sia $X(t)$ un segnale aleatorio avente $R_X(tau)=16*sinc(4tau)-6*sinc(2tau)+9$.
Sia $Z(t)=X(t)+1$ il segnale che entra in un filtro avente $H(f)=rect(f/6)$ e sia $Y(t)$ il segnale in uscita.
Calcolare $S_Z(f),P_Z,S_Y(f),P_Y$.
Infine calcolare la potenza del segnale $W(t)=X(t)+Z(t)$.

ti dice qualè è la media di $X(t)$? è fondamentale in questo caso. non so se si può ricavare dall'autocorrelazione. ma non credo

Infatti $R_Z(tau)=R_X(tau)+1+E[X(t)]+E[X(t+tau)]=R_X(tau)+1+2E[X(t)]$ perchè $X(t)$ è SSL per cui $E[X(t)]=E[X(t+tau)]$.

Quindi $S_Z(f)=S_X(f)+(1+2E[X(t)])delta(f)$
$P_Z= (1+2E[X(t)])+R_Z(0)= (1+2E[X(t)])+int_{-infty}^{+infty}S_X(f)df$

$S_Y(f)=S_Z(f)|H(f)|^2->P_Y=int_{-3}^{3}S_Z(f)df$

$W(t)=2X(t)+1->R_W(tau)=4R_X(tau)+1+4E[X(t)]->P_W=4R_X(0)+1+4E[X(t)]$

[Ene@]

ti dice qualè è la media di $X(t)$? è fondamentale in questo caso. non so se si può ricavare dall'autocorrelazione. ma non credo

No,non mi dà la media.

[Ene@]

Ho trovato la formula:

$eta_x=lim_(tau->+infty)sqrt(R_X(tau))

Pertanto la media dovrebbe venire $sqrt9=3$