Raggiungibiltà e Controllabilità LTI

[lukixx]

salve, premetto che sto studiando dalle sbobinature delle lezioni del prof e che sul libro di testo consigliatoci per l'esame di Controllo Automatici non vi è risposta ai miei dubbi, ho dei problemi nel capire alcuni dettagli che portano alla conclusione che nei sistemi LTI reaggiungibilità e controllabilità coincidano.
si considerino sistemi TEMPO CONTINUO.

DEF: uno stato $ x_1 $ all'istante $ t_1 $ ( da ora in poi uso il termine evento per indicare la coppia $ (x(t),t) $ ) è raggiungibile DALL' EVENTO $ (x_0,t_0) $ se esiste un ingresso $ u(.) $ ammissibile definito in $ [t_0, t_1] $ che trasferisca lo stato da $ x_0 $ a $ x_1 $;
DEF: un evento $ (x_0, t_0) $ è controllabile ALL' EVENTO $ (x_1,t_1) $ se esiste un ingresso $ u(.) $ ammissibile definito in $ [t_0, t_1] $ che trasferisca lo stato da $ x_0 $ a $ x_1 $;

dubbi:
1) se il sistema non è LTI lo spazio di raggiungibilità e controllabilità non coincidono.
2) "se il sistema è lineare, il problema della raggiungibiltà e controllabilità lo pongo rispetto ad uno stato di partenza e di arrivo rispettivamente coincidente con l'origine dello spazio di stato [*]": qui non capisco se usa l'origine solo per una questione di semplicità di calcolo o per qualche ragione a me oscura, per trovare una risposta ho cercato un po' online e ho trovato una slide che riporta "Essendo LTI è sempre possibile scegliere delle coordinate nello spazio degli stati tali per cui lo stato iniziale è $ x_0 = 0 $ , cioè l’origine dello spazio degli stati" ma mi sembra piuttosto ovvio, ci sono casi di sistemi non-LTI in cui non sia possibile scegliere l'origine, altrimenti comunque non capirei perchè è legittimo passare da uno stato generico all origine.
3) "[*] se lo stato è diverso da 0 posso definire $ hat(x)= x-x_0 $ ". boh forse si è sbagliato, forse intendeva qualcosa del tipo sovrapposizione degli effetti che permette di portare sempre $ x_0 $ a 0
4) "se $ x_1 $ è raggiungibile dall' origine e il sistema è LTI con ingresso $ u(.) $ allora sarà anche controllabile all' origine invertendo l'ingresso ovvero cambiandone il segno". non mi trovo con ciò perchè applicando le due definizioni a $ x_1 $ mi dovrei trovare una identità e invece non la trovo:
raggiungibilità da 0 a $ x_1 $ in $ [0, t_1] $ :
$ x_1 = int_(0)^(t_1) e^(A(t_1-tau))Bu(tau) d tau $
controllabiltà a $ x_1 $ da 0 in $ [0, t_1] $ :
$ 0 = e^(At_1)x_1 + int_(0)^(t_1) e^(A(t_1-tau))B(-u(tau)) d tau = $
$ = e^(At_1)[ int_(0)^(t_1) e^(A(t_1-tau))Bu(tau) d tau ] + int_(0)^(t_1) e^(A(t_1-tau))B(-u(tau)) d tau !=0 $