[Elettrotecnica] Calcolo corrente di linea in sistema trifase con alimentazione non simmetrica

[CosenTheta]

Si consideri il circuito in figura:



Si richiede di calcolare la seconda corrente di linea \(\displaystyle \bar{I_{2}} \), con una tensione concatenata di alimentazione diretta.

I dati sono i seguenti:

\(\displaystyle \bar{V_{12}} = 230 \sqrt{3\alpha} e^{\frac{j\pi}{6}}, R = 20\alpha = 2X_{L}, R_{1} = 10 \sqrt{\alpha}\)
dove \(\displaystyle \alpha \) è semplicemente un parametro reale positivo.

Per calcolare la corrente richiesta basterebbe calcolare la somma algebrica tra le correnti delle resistenze \(\displaystyle R_{1} \).
Per quanto riguarda la resistenza tra la fase 1 e 2, basta semplicemente applicare la legge di Ohm tramite i dati offerti dall'esercizio stesso. Il problema è la corrente sulla resistenza tra le fasi 2 e 3: la tensione di alimentazione, essendo solamente diretta, non mi permette di calcolare \(\displaystyle \bar{V_{23}} \) immediatamente, ossia con stesso modulo di \(\displaystyle \bar{V_{12}} \) e fase sottratta di \(\displaystyle \frac{2\pi}{3} \).

Idee? Grazie.

[RenzoDF]

Puoi postare una foto del testo completo?

[CosenTheta]

Il testo è il seguente, tratto da un compito d'esame:

[RenzoDF]

QED, terna di alimentazione diretta!

[CosenTheta]

Quando parla di terna di alimentazione intende le tensioni concatenate o le tensioni stellate?

Ad ogni modo, il fatto che siano dirette mi dice solamente che i fasori rappresentanti le tensioni di alimentazione si muovono nel diagramma fasoriale in senso orario, ma né che le fasi siano distanziate di \(\displaystyle \frac{2\pi}{3} \),né che valga la relazione \(\displaystyle E = \frac{V}{\sqrt{3}} \). Quindi come può tornarmi utile il fatto che la terna sia semplicemente diretta?

[RenzoDF]

Nel testo, dove sta scritto che non è simmetrica?

Se non fosse simmetrica, con quei dati, sarebbe irrisolvibile.

[CosenTheta]

Se non fosse simmetrica, con quei dati, sarebbe irrisolvibile.

Ho provato a risolverlo aggiungendo l'ipotesi di simmetria delle tensioni di alimentazione.

Conoscendo \(\displaystyle \bar{V_{12}} \) posso ottenere subito la corrente su \(\displaystyle R_{1} \), ossia:


\(\displaystyle \bar{I_{R1}} = \frac{\bar{V_{12}}}{R_{1}} =\frac{230 \sqrt{3\alpha} e^{j\frac{\pi}{6}}}{10\sqrt{\alpha}} = 23\sqrt{3}e^{j\frac{\pi}{6}}
\)


Per simmetria ottengo anche quella su \(\displaystyle R_{2} \):

\(\displaystyle \bar{V_{23}} = 230\sqrt{3\alpha} e^{j(\frac{\pi}{6} - \frac{2\pi}{3})} =
-230\sqrt{3\alpha}j.\)

\(\displaystyle \bar{I_{R2}} = \frac{\bar{V_{23}}}{R_{2}} = \frac{-230\sqrt{3\alpha}j}{10\sqrt{\alpha}} = -23\sqrt{3}j. \)

Supponendo di scrivere la corrente \(\displaystyle I_{2} \) come differenza tra le due correnti, ottengo:

\(\displaystyle \bar{I_{2}} = \bar{I_{R2}} - \bar{I_{R1}} = -23\sqrt{3} (j + e^{j\frac{\pi}{6}}) = -23\sqrt{3}(\frac{3j}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}). \)

E' corretto?

[RenzoDF]

No, quella KCL è errata!

[CosenTheta]

Giusto, ho mancato il contributo di corrente dell'impedenza sulla seconda linea.

Considero la tensione stellata \(\displaystyle \bar{E_{2}} \):

\(\displaystyle \bar{E_{2}} = 230\sqrt{\alpha} e^{-j\frac{2\pi}{3}} \).

Trattandosi di un carico equilibrato, tutta la seconda tensione stellata ricade sull'impedenza \(\displaystyle \dot{Z} = R + jX_{L} = 20\alpha + j10\alpha = 10\alpha(2 + j) \), ergo:

\(\displaystyle \bar{I_{\dot{Z}}} = \frac{\bar{E_{2}}}{\dot{Z}} = \frac{230\sqrt{\alpha}(-\frac{1}{2} - j\frac{\sqrt{3}}{2})}{10\alpha(2 + j)} = \frac{-23\sqrt{\alpha}(1+\frac{\sqrt{3}}{2} -j(\frac{1}{2} + \sqrt{3}))}{5\alpha}.\)

Infine:
\(\displaystyle \bar{I_{2}} = \bar{I_{R2}} - \bar{I_{R1}} + \bar{I_{\dot{Z}}} = -23\sqrt{3}(\frac{3j}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2})+ \frac{-23\sqrt{\alpha}(1+\frac{\sqrt{3}}{2} -j(\frac{1}{2} + \sqrt{3}))}{5\alpha} \).

[RenzoDF]

Non avendo controllato i passaggi numerici, posso solo dirti OK per il metodo, ad ogni modo, potresti provare a risolvere anche via Thevenin, per verificare la corrispondenza fra i due risultati.