[Controlli Automatici] Corrispondenza tra Piano S e piano Z

[guido fonzo]

salve a tutti, sto vedendo il mapping tra piano S e piano z.
Ho trovato questa foto in rete
Ho iniziato a mappare i punti ma mi sono bloccato:

Per tutti i punti che si trovano sulla fascia primaria, mi trovo con il disegno .

Ho visto invece i punti che prevedono sul piano s una $ \omega$ costante.

In particolar modo il punto in s che è contrassegnato con $-j\pi/4$. (colore arancione) come mai è posto sul piano z con una $\omega$ di$-\pi/4$?

Ho provato a fare i calcoli e mi trovo $-\pi/2$, con modulo che tende a 0

Dove sbaglio?


Un altra domanda che riguarda la corrispondenza piano s piano z è la seguente:

Se ho un punto sul piano s che è superiore ad $ws/2$ e tale punto viene riportato in z, nel momento in cui si passa da z ad s il modo di evoluzione rischia di essere portato in fascia primaria.
Cioè in poche parole un punto che sul piano s si trova in fascia primaria, viene riportato in z, ritornando da z ad s tale punto puo essere mappato in fascia primaria.
Dalla teoria, ho appreso che la corrispondenza tra i due piani non è biunivoca, vorrei capire, magari con un esempio pratico.
Grazie a tutti

[Riccardo Desimini]

Riguardo al punto $s=\sigma-j\frac{\pi}{4}$, hai: $z=e^s=e^{\sigma-j\frac{\pi}{4}}$, quindi si tratta del numero complesso di modulo $e^\sigma$ (tendente a zero per $\sigma\to -\infty$) e fase $-\frac{\pi}{4}$, quindi quanto riportato in figura è corretto. Non ho capito come hai ottenuto $-\frac{\pi}{2}$.

[guido fonzo]

Riccardo sul libro dove ho studiato sul piano s si ragiona con $w_s$ se applico una proporzione del tipo:

$pi:w_s/2 =x : pi/4$

cioe a $pi$ corrisponde la fascia primaria (un solo giro di circonferenza)

ho semplicemente fatto:

$x= pi^2/4 2/w_s)$
sostituendo a $w_s$ $2pi/T)$ ottengo $T pi/4$