Adesso hai dimenticato un segno nell'esponenziale
Ad ogni modo ti avevo scritto la soluzione giusta di quelle trasformate, evidentemente non l'hai neanche guardata.
Comunque la soluzione del libro è molto antipatica, laboriosa,devo scrivere
molti passaggi, insomma una vera rottura di scatole.....
Allora partiamo da questa prima semplificazione non necessaria ma me piace tanto
:
\(H\left ( \omega \right )=\alpha +\left ( 1+\alpha e^{-j\omega T} \right )e^{-j\omega T}\)
Sviluppo i 2 "Euleri"
\(\alpha +\left ( 1+\alpha \cos\left ( \omega T \right )-j\alpha \sin \left ( \omega T \right ) \right )\left ( \cos \left ( \omega T \right )-j\sin \left ( \omega T \right ) \right )\)
Eseguo la moltiplicazione
:
\(\alpha \left ( \cos^{2} \left ( \omega T \right )-\sin ^{2}\left ( \omega T \right )+1 \right )-j2\alpha \cos \left ( \omega T \right )\sin \left ( \omega T \right )+\cos \left ( \omega T \right )-j\sin \left ( \omega T \right )\)
Conviene iniziare a semplificare qualcosa
:
\(2\alpha \cos ^{2}\left ( \omega T \right )-j2\alpha \cos \left ( \omega T \right )\sin \left ( \omega T \right )+\cos \left ( \omega T \right )-j\sin \left ( \omega T \right )\)
Se sei sopravvissuta fino a questo punto procediamo con qualche raccoglimento:
\(\left ( 1+2\alpha \cos \left ( \omega T \right ) \right )\cos \left ( \omega T \right )-j\left ( 1+2\alpha \cos \left ( \omega T \right ) \right )\sin \left ( \omega T \right )\)
Finalmente
:
\(\left ( 1+2\alpha \cos \left ( \omega T \right ) \right )\left ( \cos \left ( \omega T \right ) -j\sin \left ( \omega T \right )\right )\)
Ovvero:
\(\left ( 1+2\alpha \cos \left ( \omega T \right ) \right )e^{-j\omega T}\)
Un paio di considerazioni:
Non sono un matematico, non sono mai andato a scuola, forse qualche matematico troverà una strada più breve, io l'ho sviluppata passo per passo.
Seconda considerazione, quando passi dalle parti di Roma mi offri un aperitivo