Trasformata Fourier onda quadra

[enna]

Ho questo segnale $ x(t) = \sum_{n= - \infty }^{+ \infty } rect [ \frac{ t - nT_0 }{ \frac{T_0}{2} } ] $ e devo trovare la trasformata di Fourier. Inoltre dato $ h(t) = \frac{2}{T_0} rect [ \frac{2t}{T_0} ] $ devo trovare y(t) e Y(f). Subito ho trovato che $ X(f) = \sum_{n= - \infty }^{+ \infty } \frac{1}{2} sinc ( \frac{k}{2} ) \delta ( f- kf_0 ) $ , stesso risultato ottenuto dal libro. Per trovare y(t) so che $ y(t) = x(t) \ast h(t) $ ma questo equivale a $ Y(f) = X(f) H(f) $. Ora $ H(f) = sinc (f \frac{T_0}{2} ) $ e ottengo che $ Y(f) = \sum_{n= - \infty }^{+ \infty } \frac{1}{2} sinc ( \frac{k}{2} ) sinc ( \frac{f T_0}{2} ) \delta (f- kf_0 ) $. Il risultato è lo stesso del libro ma lui mi specifica che i due sinc sono uguali e lo scrive come sinc al quadrato e non capisco perché ora , trattandosi di anti trasformare Y(f) ( prendo il risultato con il sinc quadro ) io ottengo $ y(t) = \sum_{n= - \infty }^{+ \infty } \frac{1}{2} tri ( \frac{ t}{2} ) \delta (t - nT_0 ) $ mentre il risultato del libro è $ \sum_{n= - \infty }^{+ \infty } tri [ \frac{ t-nT_0}{T_0 / 2} ] $

[giovx24]

guarda la proprietà campionatrice dell'impulso di dirac

[enna]

Con la proprietà di campionamento posso scrivere $ y(t) = \sum_{n= - \infty }^{+ \infty } \frac{1}{2} tri ( \frac{ t}{2} ) \delta (t - nT_0 ) $ come $ y(t) = \sum_{n= - \infty }^{+ \infty } \frac{1}{2} tri ( \frac{ t - nT_0}{2} ) $ ma non capisco che errore ho fatto per avere un più 1/2. E non capisco bene perché i due sinc nella trasformata di $ Y(f) $ sono uguali.. affinché accada si deve avere $ k=fT_0 $

[Exodus]

Le trasformate già le conosci, le riporto per chiarezza:

\(X_{0}\left ( f \right )=\frac{T_{0}}{2}sinc\left (\frac{T_{0}}{2} f \right )\)
\(H\left ( f \right )=sinc\left (\frac{T_{0}}{2} f \right )\)

Moltiplico:
\(X_{0}\left ( f \right )H\left ( f \right )=\frac{T_{0}}{2}sinc^{2}\left ( \frac{T_{0}}{2}f \right )\)

Antitrasformo:

\(ℱ^{-1}\left [ X_{0}\left ( f \right )H\left ( f \right ) \right ]=\Lambda \left ( \frac{2}{T_{0}}t \right )\)

\(y\left ( t \right )=\sum_{n=-\infty }^{+\infty }\Lambda \left ( \frac{2}{T_{0}} \left ( t-nT_{0} \right )\right )\)



NB: Noterai che la soluzione è diversa dal tuo libro, probabilmente l'hai riportata male o è completamente sballato il risultato del libro

[enna]

Ok da brava capra avevo sbagliato a scrivere il risultato. Ora l’ho corretto e dovrebbe essere equivalente a quello che hai ottenuto tu. Ho svolto i calcoli ed ora il risultato mi viene corretto , il problema è che non capisco perché ho sbagliato l’errore sta nel fatto che io faccio $ Y(f) = H(f) X(f) $ mentre sarebbe invece $ Y(f) = H(f) X_0(f) $ ma l’uscita di un sistema non è uguale al prodotto della trasformata dell’entrata per la trasformata della risposta impulsiva ( cioè la risposta al gradino ) ? oppure in questo vale X_0(f) perché X(f) è un segnale periodico composto da impulsi ?

[Exodus]

Che vuoi che ti dica, riflettiamoci sù.
Abbiamo a che fare con un segnale periodico, ovvero che si ripete sempre nello stesso modo, non credi che basti lavorare con un singolo periodo ?

Questa semplificazione non è universale, ma si adatta bene a questo esercizio visto la simmetria che esiste tra segnale e risposta impulsiva.

Di fatto se il libro ha svolto l'esercizio in quella maniera, senza senso, le richieste erano altre, altrimenti ha allungato la strada di parecchio

Comunque queste operazioni di convoluzione, con segnali semplici come l'onda quadra, risultano più immediati nel dominio nel tempo come ti ho mostrato in un altro post.

[enna]

Grazie mille come al solito !!! Ora voglio provare a farlo anche nel dominio del tempo , sperando di non combinare pasticci. A volte purtroppo mi perdo nella teoria e non sono capace di notare le simmetrie o azioni che semplificherebbero il procedimento