[Controlli Automatici, Automatica] Automatica, criterio di nyquist

[Lollo0909]

continuando a svolgere i vari esercizi ho trovato questo
$G(s)=(3316s^2+2.34*10^4s+21000)/(7.275s^4+510.2s^3+70s^2)$
in questo caso ho due poli nell'origine e due poli a parte reale negativa con questo grafico di nyquist



più precisamente cosi


vedo che taglia l' asse in -7.67 quindi calcolo $Kmax=1/|-7.67|=0.13$
in questo caso che tipo di stabilità ho?

[ingres]

Mi sembra che ci sia un'inconsistenza tra le frecce dei due grafici. Supponendo corrette le frecce del grafico con range più limitato (e quindi invertite quelle del grafico esteso), il grafico dopo aver attraversato l'asse reale si richiuderà all'infinito verso destra.
Pertanto questo è un sistema che sarà stabile per valori di K tali da lasciare a destra di (-1,0) il "cappio" e quindi sarà stabile per $K>0.13$.
Quello da te calcolato è da intendersi un $K_(min)$.

[Lollo0909]

quindi che tipo di stabilità c è
regolare
intrinseca
paradossale
condizionata
robusta
che ragionamento si deve fare per poi scegliere una di queste?

[ingres]

Questa mania di classificare ....

Comunque le definizioni non sono proprio perfettamente coincidenti per cui è meglio che riporto quelle a cui sto facendo riferimento (e che vengono utili anche per rispondere alla tua domanda sul ragionamento da fare).

1) stabilità intrinseca: il sistema è stabile per qualsiasi valore del guadagno statico.
2) stabilità regolare: il sistema è stabile per 0 <K < Kmax
3) stabilità condizionata: il sistema risulta stabile per Kmin< K <Kmax
4) stabilità paradossale: il sistema risulta stabile per K > Kmin

E' evidente che siamo nel caso 4).

NOTA: Quanto alla stabilità "robusta" non so esattamente cosa intendi. Di solito l'aggettivo "robusto" non è legato al tipo di stabilità, ma ad una quantificazione della stessa, ovvero quanto un sistema sia immune a variazione dei parametri (e quindi è un concetto legato ai margini di stabilità).

[Lollo0909]

e scusa come faccio a trovare la differenza tra $Kmin Kmax K$
ho che Kmin=1/intersezione con l asse immaginario, le altre due come le calcolo?

[ingres]

Supponendo che non vi siano poli a parte reale positiva:

1) stabilità intrinseca: in ogni caso non il diagramma non gira attorno al punto (-1,0)
2) stabilità regolare: se il guadagno è ridotto (K < Kmax) non giro attorno al punto (-1,0). Il valore di K limite è quello per cui passo da (-1,0) e corrisponde proprio a 1/valore di attraversamento.
3) stabilità condizionata: si ha nel caso di più attraversamenti dell'asse reale. In questo caso puoi avere casi molto complessi. Ad esempio in cui hai per bassi valori di K una sola rotazione attorno a (-1,0), e quindi il sistema è instabile, per valori medi di K due rotazioni in versi opposti e quindi sistema stabile e infine due rotazioni nello stesso verso e di nuovo sistema instabile. Esaminando i valori limite delle situazioni quando il diagramma passa per (-1,0) si trovano i valori di K, che corrispondono ai valori di 1/valore di attraversamento di ciascun ramo.
4) stabilità paradossale: se il guadagno è elevato (K > Kmin) non giro attorno al punto (-1,0). Il valore di K limite è quello per cui passo da (-1,0) e di nuovo è 1/valore di attraversamento.

[Lollo0909]

La funzione è

$G(s)=(11.6 s^2 + 204 s + 450)/(0.02275 s^4 + 1.114 s^3 + 5 s^2)$

Non ha poli a parte reale positiva e non ha rotazioni attorno al punto (-1,0), perchè il diagramma di Nyquist con i versi segnati si richiude all'infinito sulla destra (alla fine fa un percorso orario).

Quindi per il T di Nyquist il sistema è stabile (asintoticamente) e poichè la situazione non cambia moltiplicando per un guadagno K positivo si conclude che questo è vero per una qualsiasi variazione del quadagno di anello K>0.

Puoi verificare facilmente questa conclusione facendo il luogo delle radici della funzione in oggetto.

Nota: per scrivere la funzione ho riportato quello che hai scritto mettendolo tra "dollari".

scusa ma riguardano questa G(s) in questo caso stavamo parlando di una stabilità intrinseca o di una stabilità asintotica?

[ingres]

Sono due classificazioni diverse: una riguarda la stabilità in funzione del guadagno, l'altra verifica la stabilità rispetto alle condizioni iniziali.

Il sistema è intrinsecamente stabile perchè la sua stabilità non cambia al variare del guadagno.

E' asintoticamente stabile perchè il suo movimento libero tende a zero per qualunque stato iniziale (ovvero i poli in anello chiuso sono tutti a parte reale negativa e non vi sono poli a s=0 oppure puramente immaginari).

[Lollo0909]

Sono due classificazioni diverse: una riguarda la stabilità in funzione del guadagno, l'altra verifica la stabilità rispetto alle condizioni iniziali.

Il sistema è intrinsecamente stabile perchè la sua stabilità non cambia al variare del guadagno.

E' asintoticamente stabile perchè il suo movimento libero tende a zero per qualunque stato iniziale (ovvero i poli in anello chiuso sono tutti a parte reale negativa e non vi sono poli a s=0 oppure puramente immaginari).

Ah okok quindi il sistema è entrambe le cose, sia asintoticamente stabile che con stabilità intrinseca capito
Perchè io con questa $G(s)=(3.582*10^4s^3+2.071*10^5s^2+141744s+8000)/(4291s^6+6.203*10^4s^5+2.166*10^5s^4+2.653*10^5s^3+1.074*10^5s^2+1000s$
con questa G(s) avrei detto asintoticamente stabile, e in più che stabilità ha? condizionata paradossale o regolare?

[ingres]

A parte s=0, se tutti i restanti poli sono a parte reale negativa, il grafico non deve fare rotazioni attorno a (-1,0). Poichè mi sembra che variando il guadagno il "cappio" si allarga, ti direi che siamo in presenza di una stabilità regolare per $K<1/0.2=5$.