[Elettrotecnica] Calcolo corrente dominio di Laplace

[Lorenzo_99]

Nel circuito riportato in calce si deve calcolare la corrente i(t) dato $J(t) = { ( (1, t < 0) ),( (0, t > 0) ):} $ e $ e(t) = { ( (-10, t < 0) ),( (10, t > 0) ):}$.
Per evitare condizioni iniziali nel dominio di Laplace, ho posto $J(t) = J'(t) e J''(t)$ e $e(t) = e'(t) + e''(t)$ con $J'(t) = 1 $, $ e'(t) = -10$, $J''(t) = { ( (0, t < 0) ),( (-1, t > 0) ):} $ e infine $ e''(t) = { ( (0, t < 0) ),( (20, t > 0) ):}$.
A questo punto ho prima calcolato nel dominio del tempo, a regime, i(t) per $t<0$ considerato e(t) = e'(t) e j(t) = j'(t). Dopodiché nel dominio di Laplace i(t) considerando J''(t) e e''(t).
Non riesco però ad ottenere il risultato dovuto e non riesco proprio a trovare l'errore.


Per $t < 0$ a regime ho usato il metodo delle correnti di maglia (condensatore diventa un aperto e induttore un cortocircuito):

${ (-e'+2Ri_x+J'R=0), (i(t) = i_x+J'):}$ $rArr { (i_x = (-J'R+E')/(2R)=-1), (i(t)=-1+1=0):}$


Per $t > 0$ ho provato ad usare correnti di maglia ma dopo 40 minuti di calcoli algebrici si arriva a qualcosa di ingestibile.

${((-E'')/s+2I_yR+sLI_y-I_x(R+sL)=0), (I_x(R+sL+1/(sC))+(J'')/(s)(1/(sC))-I_y(R+sL)=0), (I(t) = I_y-I_x):}$

Con tensioni di nodo i conti sono molto più ridotti però portano a risultati errati.

(il generatore di tensione è stato convertito nell'equivalente Norton)
${ ((E'')/(sR) + J'' = V_1(1/R+sC+1/(R+sL))), (I = (V_1-V_2)/(R+sL)):}$


Cosa c'è che non va nelle equazioni? Il risultato corretto è $i(t) = 0.1795e^(-5801t)-0.6795e^(-1532.3t)+0.5$.



Circuito iniziale e valori numerici:

[RenzoD]

Io, una volta determinati i valori iniziali per le variabili di stato, e il valore a regime per la corrente nell'induttore, andrei a ricavare i due autovalori, uguagliando a zero la somma delle ammettenze "viste" da un taglio verticale

$1/R+1/(R+sL)+sC=0$

e a questo punto la soluzione sarebbe semplicissima.

[ingres]

In pratica a t=0 si hanno condizioni di stato nulle. A questo punto conviene ripartire da come sono i generatori attuali ovvero considerare:

$E(s) =10/s$, $J(s) =0$ per cui rimane solo $E(s)$ e risulta

$I(s) = (E(s))/(R + (R + s L) text(//) (1/(s C)))*(1/(s C))/(R+sL+1/(s C))$

Da cui

$I(s) = (E(s))/R *1/(LC*s^2+(RC+L/R)*s+2) = 1/s*1/(0.225*10^(-6)s^2+1.65*10^(-3)*s+2)$

e antitrasformando

$i(t)=0.1795e^(−5801t)−0.6795e^(−1532.3t)+0.5$

[Lorenzo_99]

Io, una volta determinati i valori iniziali per le variabili di stato, e il valore a regime per la corrente nell'induttore, andrei a ricavare i due autovalori, uguagliando a zero la somma delle ammettenze "viste" da un taglio verticale

$1/R+1/(R+sL)+sC=0$

e a questo punto la soluzione sarebbe semplicissima.

Non so se è una terminologia diversa o delle "tecniche" che non abbiamo visto ma gli autovalori non si sono mai usati e non sono sicuro di cosa tu intenda con "viste da un taglio verticale". Quella somma di ammettenze da dove deriva? Idem per il valore di regime per $t->oo $: non abbiamo visto come trovarlo.

In pratica a t=0 si hanno condizioni di stato nulle. A questo punto conviene ripartire da come sono i generatori attuali ovvero considerare:

$ E(s) =10/s $, $ J(s) =0 $ per cui rimane solo $ E(s) $

Le condizioni di stato nulle si hanno se si usano J', J'', e' ed e''. Vedendo però che hai scritto $E(s) = 10/s$ mi viene il dubbio tu abbia usato e(t) fornito dal testo: in questo caso $e(t_(0^-)) = -10 != 0$. Dunque perché le condizioni iniziali sarebbero nulle (e quindi non sarebbe necessario un "nuovo" generatore di tensione in serie agli induttori e ai condensatori)?

e risulta $ I(s) = (E(s))/(R + (R + s L) text(//) (1/(s C)))*(1/(s C))/(R+sL+1/(s C)) $$

Questa equazione come è stata ottenuta?
Il simbolo $"//"$ ipotizzo indichi che sono in parallelo le componenti in oggetto. Che operazione sarebbe però in termini matematici? $[1/(R+(R+sL))+1/(1/(sC))]^(-1)$?

[ingres]

Dunque perché le condizioni iniziali sarebbero nulle (e quindi non sarebbe necessario un "nuovo" generatore di tensione in serie agli induttori e ai condensatori)?

Hai calcolato i=0 come calcolo a regime dei generatori $j=1$ ed $e=-10 V$

Ma questo significa che l'effetto applicato da $t=-infty$ è che i(0)=0 e quindi è nulla la corrente nell'induttore e nulla la tensione nel condensatore, sono nulli i generatori di stato e posso ripartire considerando la situazione a condizioni iniziali nulle e applicando i valori dei generatori $j(t)$ ed $e(t)$ per t>0.

Il simbolo // ipotizzo indichi che sono in parallelo le componenti in oggetto. Che operazione sarebbe però in termini matematici?

Tipica abbreviazione di elettrotecnica
$Z_1 text(//)Z_2 = (Z_1*Z_2)/(Z_1+Z_2)$

Questa equazione come è stata ottenuta?

In modo abbastanza banale. Hai un generatore con in serie R e il parallelo di (R+SL) con 1/sC. Quindi è facile determinare la corrente totale (pezzo sinistro della formula) e su questa applicare poi la formula di ripartizione delle correnti nel caso di impedenze in parallelo.

[Lorenzo_99]

Hai calcolato i=0 come calcolo a regime dei generatori $j=1$ ed $e=-10 V$

Ma questo significa che l'effetto applicato da $t=-infty$ è che i(0)=0 e quindi è nulla la corrente nell'induttore e nulla la tensione nel condensatore, sono nulli i generatori di stato e posso ripartire considerando la situazione a condizioni iniziali nulle e applicando i valori dei generatori $j(t)$ ed $e(t)$ per t>0.

Ok ho appena realizzato in realtà che $J'=J$ e $e'=e$ per $t<0$ . Quindi, poiché è vero che $J'=J$, $e'=e$ e $i(0) = 0$, si può andare ad utilizzare senza problemi j(t) ed e(t) originali forniti dall'esercizio in quanto non ci sono condizioni iniziali (e conviene utilizzarli visto che j(t) = 0 per $t>0$)?

Nel momento in cui $J'!=J$ o $e'!=e$ sarei dovuto rimanere su J'' ed e''. Se $J'=J$ o $e'=e$ ma avessi ottenuto $i(0)!=0$ avrei potuto utilizzare sia J(t) ed e(t) originali così come J'' ed e'' (con la convenienza di non avere condizioni iniziali). Se $J'=J$, $e'=e$ e $i(0) = 0$ (come nell'esercizio) potrei utilizzare comunque J'' e e'', se dovesse risultare più comodo. Corretto?

In modo abbastanza banale. Hai un generatore con in serie R e il parallelo di (R+SL) con 1/sC. Quindi è facile determinare la corrente totale (pezzo sinistro della formula) e su questa applicare poi la formula di ripartizione delle correnti nel caso di impedenze in parallelo.

Non ci sono molto.
Ho capito che $(1/(s C))/(R+sL+1/(s C))$ sarebbe l'impedenza equivalente composta da resistenza R e induttore L in serie e dal condesatore C in parallelo al ramo contenente queste 2 componenti. Come è stata ottenuta però? A me verrebbe da scrivere $z_1"//"z_2 = ((R+sL)*1/(sC))/((R+sL)+1/(sC))$, con $(R+sL)$ impedenza $z_1$ e $1/(sC)$ impedenza $z_2$. Il loro parallelo sarebbe quindi $(z_1*z_2)/(z_1+z_2)$, ovvero proprio $((R+sL)*1/(sC))/((R+sL)+1/(sC))$.
Per quanto riguarda $ (E(s))/(R + (R + s L) text(//) (1/(s C))) $: in sostanza essa corrisponde alla legge di Ohm I'=V/R' con V=E tensione generata dal generatore di tensione, R' impedenza composta dalla resistenza R (quella in alto) in serie con l'impedenza $z_1"//"z_2$ e I' corrente che scorre su R' per via della tensione E imposta dal generatore ai suoi capi. Giusto?
Non ho proprio capito invece perché la moltiplicazione di $ I' = (E(s))/(R + (R + s L) text(//) (1/(s C))) $ per $(1/(s C))/(R+sL+1/(s C))$ dovrebbe dare la corrente che scorre sul ramo con L ed R in serie.

[ingres]

Potrei utilizzare comunque J'' e e'', se dovesse risultare più comodo. Corretto?

Certo.

Ho capito che $(1/(sC))/(R+sL+1/(sC))$ sarebbe l'impedenza equivalente composta da resistenza R e induttore L in serie e dal condesatore C in parallelo al ramo contenente queste 2 componenti.

No, ti spiego nel punto sotto cosa significa

in sostanza essa corrisponde alla legge di Ohm I'=V/R' con V=E tensione generata dal generatore di tensione, R' impedenza composta dalla resistenza R (quella in alto) in serie con l'impedenza z1//z2 e I' corrente che scorre su R' per via della tensione E imposta dal generatore ai suoi capi. Giusto?

SI
A questo punto questa è la corrente totale I'.
Ora sfruttiamo il fatto che data una corrente totale I' che incontra un parallelo di due impedenze Z1 e Z2 questa si divide come segue (I1 corrente in Z1 e I2 corrente in Z2)
$I_1= I' * Z_2/(Z_1+Z_2) $
$I_2= I' * Z_1/(Z_1+Z_2) $

Quindi nel nostro caso la parte di corrente totale che va in R+sL sarà

$I(s) = I'(s) * (1/(sC))/(R+sL +1/(sC))$

[Lorenzo_99]

Perfetto, ho capito. I conti tornano solo a volte (in base a quali formule uso - in questo caso quelle del partitore di corrente - si hanno delle semplificazioni meravigliose oppure non se ne ha nessuna e si ottengono conti complicati e lunghi) ma in ogni caso ciò che mi interessava era il ragionamento. Grazie.

[RenzoDF]

Non so se è una terminologia diversa o delle "tecniche" che non abbiamo visto ma gli autovalori non si sono mai usati ...

Se avessi detto "poli" sarei stato più comprensibile?

... e non sono sicuro di cosa tu intenda con "viste da un taglio verticale". ...

Davo per scontato che tu ne avessi sentito parlare; in H-demia in un corso di elettrotecnica, normalmente, si inizia con un po' di topologia dei grafi e si definiscono "alberi" "coalberi" "maglie" e "tagli", prima di introdurre le leggi di Kirchhoff.

... Quella somma di ammettenze da dove deriva? Idem per il valore di regime per $t->oo $: non abbiamo visto come trovarlo.

Deriva dal fatto che i poli di una rete sono strutturali, di conseguenza una volta passivata la rete, possono essere ricavati andando a "tagliare" (attraverso due soli rami) la rete in due parti distinte, rappresentabili con due bipoli, per poi andare a ricavare i poli uguagliando a zero la somma delle impedenze (o ammettenze) dei due bipoli. Il taglio può essere fatto ovunque, in questo caso per esempio sia a destra che a sinistra del ramo R L.
E, senza dubbio, è una scorciatoia utilissima.

... Idem per il valore di regime per $t->oo $: non abbiamo visto come trovarlo. ...

Spero ti abbiano raccontato che la soluzione può essere ottenuta sia dalla somma della "risposta libera" alla "risposta forzata", sia dalla somma della "risposta transitoria" con la "risposta a regime".

[ingres]

Inserisco anche la soluzione come prospettata da Renzo, perchè molto utile sia dal punto di vista didattico e sia come metodo alternativo per controllare/semplificare i conti.

Intanto la risposta forzata a regime è chiaramente 0.5 A (10 V diviso 2R=20 Ohm).

Poi partendo dall'equazione che fornisce autovalori/poli del sistema (vedi post di Renzo)
$1/R+1/(R+sL)+sC=0$
si ottiene l'equazione
$ LC*s^2+(RC+L/R)*s+2 = 0 $ ovvero $0.225*10^(-6)s^2+1.65*10^(-3)*s+2 = 0 $
e si ricavano così gli autovalori:
$s_1 = -5801$
$s_2 = -1532.1$

Pertanto la risposta complessiva del sistema è
$i(t) =0.5 + k_1*e^(-5801t)+k_2e^(-1532.3t)$

Imponendo le condizioni iniziali $i(0)=0$ e $(di)/dt(0)=0$ si ottiene infine $k_1=0.1795$ e $k_2=-0.6795$.

Si noti che per condizioni iniziali non nulle sarebbe bastato cambiare solo le ultime condizioni.