Ciao a tutti. Sto trovando non poca difficoltà nel capire la soluzione particolare della seguente equazione differenziale:
$(dVc(t))/dt+1/tau*Vc(t)=1/tau*Vm*cos(omega*t)$
Il mio modo di procedere è il seguente:
soluzione omogenea:
$(dVc(t))/dt+1/tau*Vc(t)=0$
$(dVc(t))/dt=-1/tau*Vc(t)$
$(dVc(t))/(Vc(t))=-1/tau*dt$
integro:
$ln(|Vc(t)|)=-t/tau+c$
$Vc(t)=e^(-t/tau+c)$
$Vc(t)=e^(-t/tau)*k$
Applicando il metodo di variazione della costante e rendo la costante una funzione di t
$Vc(t)=e^(-t/tau)*k(t)$
$(dVc(t))/dt=-1/tau*e^(-t/tau)*k(t)+e^(-t/tau)*(dk(t))/dt$
e vado a sostituire $Vc(t)$ e $(dVc(t))/dt$ nell'equazione differenziale iniziale:
$-1/tau*e^(-t/tau)*k(t)+e^(-t/tau)*(dk(t))/dt+1/tau*e^(-t/tau)*k(t)=1/tau*Vm*cos(omega*t)$
$e^(-t/tau)*(dk(t))/dt=1/tau*Vm*cos(omega*t)$
$(dk(t))/dt=e^(t/tau)*1/tau*Vm*cos(omega*t)$
integro:
$k(t)=\inte^(t/tau)*1/tau*Vm*cos(omega*t) dt$
ed ora finisce la festa. Se lo risolvo per parti viene fuori qualcosa di totalmente diverso rispetto al risultato proposto dal libro (Circuiti Elettrici di Renzo Perfetti) che propone questo risultato:
$Vc(t)=K*e^(-t/tau)+A*cos(omega*t + phi)$
Scusate per il papiro e grazie in anticipo.