Esercizio macchine a fluido turbomacchine

[AnalisiZero]

Salve,

Ho il seguente esercizio che non ho idea di come risolvere.



Ho provato 3 vie:
1) ragionare sull' intersezione tra caratteristica esterna e interna, ma non ho molti elementi su cui ragionare.
2) ragionare sul rendimento $eta=(gH)/(-l)$, però non so come metterci dentro la portata.
3) ragionare sulla similitudine dinamica, opzione che non mi convince anche se dovrebbe essere proprio un esercizio sull'argomento "similitudine".

Mi basterebbe un "indizio" su quale è la strada giusta da prendere

[ingres]

La caratteristica del circuito esterno è data da una funzione del tipo

$H = H_0 + k*Q^2$

dove $H_0$ è il dislivello e $k$ un coefficiente che si determina sperimentalmente
(nel tuo caso è determinato dalla perdita di $1 m c.a.$ per $1 m^3/s$ di portata).

Per quanto riguarda le caratteristiche della pompa, tieni presente che se $n$ è il numero di giri della pompa la curva caratteristica si sposta secondo queste leggi di similitudine
$Q prop n$
$H prop n^2$

In base a quanto sopra puoi calcolare come si sposta il punto di max rendimento della curva Q,H della pompa al variare di n, punto che si dovrà muovere fino a intersecare la caratteristica esterna.

[AnalisiZero]

Innanzitutto ti ringrazio per la risposta.

Sono partito dalla tua prima equazione.
Per il circuito quindi vale: $H=H_0+kQ^2$
Per la pompa vale: $H=KQ^2$ con $K=20$ (s^2/m^5) calcolato dall'informazione data dal testo.
Uguagliando le due equazioni ho trovato $Q=2.29$ m^3/s

A questo punto per quanto riguarda la velocità ho fatto così:
Siccome il rendimento è sempre massimo e ha un andamento parabolico (con concavità verso il basso) al variare del coefficiente di portata, necessariamente il coefficiente di portata deve essere costante per le due situazioni (indicazione del testo e valori calcolati per il circuito). Allora è $Q/(nD^3)=(Q')/(n'D'^3)$ da cui $n'=1660.25$ giri/min.

[ingres]

Numericamente i risultati sono abbastanza giusti ma non è molto corretto il ragionamento fatto per ottenerli.

Ad esempio la caratteristica di una pompa può essere scritta come $H_p=H_(p0)-k_p*Q_p^2$ ovvero la prevalenza si riduce aumentando la portata e non come hai scritto $H=KQ^2$ (cfr. ad es. https://blog.areatecnica.it/curva-carat ... damentali/)

Il ragionamento da farsi è il seguente. Per le leggi di similitudine ad una diversa velocità la pompa fornirà

$Q_p'=n/n_0 *Q_p$
$H_p'= (n/n_0)^2 * H_p$

Quindi la velocità n dovrà essere scelta in modo da soddisfare la curva di carico $H=H_0 + k Q^2$ con i valori riparametrizzati di prevalenza e portata del punto della pompa a massima efficienza, ovvero:

$(n/n_0)^2 * H_p = H_0 + k (n/n_0)^2 *Q_p^2$

da cui ($H_0=100$, $k=1$)

$n/n_0 = sqrt(H_0/(H_p-kQ_P^2)) = sqrt(100/(80-4)) = 1.147$

$n= 1.147*1450= 1663 text ( ) g/min$
$Q= 1.147*2 = 2.294 text( ) m^3/s$

[AnalisiZero]

Ho capito, in effetti la curva prevalenza portata ha pendenza negativa.
Il mio ragionamento voleva evitare di dire "i due funzionamenti sono in similitudine dinamica" perché in effetti non è dato dal testo, giusto? O è una assunzione necessaria per risolvere l'esercizio?

[ingres]

Quello di assumere la similitudine dinamica ovvero la proporzionalità con la velocità della portata e con il quadrato della velocità per la prevalenza è un'ipotesi necessaria, perchè altrimenti non è dato di sapere come si spostano i punti della curva della pompa al variare della velocità.

Peraltro si tratta di un'ipotesi abbastanza ben verificata nella realtà, e generalmente adottata nella pratica progettuale.
Quindi la puoi assumere valida a prescindere che sia esplicitata o meno nel testo.

[AnalisiZero]

Ho capito, ti ringrazio