[Controlli Automatici] Esercizio sintesi controllore

[lorenzinho23]

Buongiorno,


in questo esercizio ho un sistema con 2 poli nell'origine quindi sistema di tipo 2,
la specifica dell'errore a regime mi dice che deve essere nullo per ingressi a rampa e io so che in questo caso devo avere un sistema di tipo 2 che ho già. Come devo impostare quindi la costante k ?

[ingres]

Ciao lorenzinho23, benvenuto nel Forum

In generale se supponi un controllore puramente proporzionale dovresti determinarne il valore cercando di soddisfare le altre specifiche (sovra-elongazione e tempo di salita) tramite verifica diretta con la funzione di trasferimento in ciclo chiuso oppure tramite studio del luogo delle radici o dei diagrammi di Bode sulla funzione di trasferimento in ciclo aperto.

Però in questo caso ti è sufficiente un controllore puramente proporzionale per la stabilità del sistema risultante?

[lorenzinho23]

Ciao,grazie per la risposta.
A dire il vero non ho mai usato il metodo del luogo delle radici e non ho usato le altre specifiche per k, perché ho sempre determinato il valore di K in base al tipo di errore a regime e poi di conseguenza ho ottenuto C(s) e l'ho moltiplicato a P(s).
Puoi spiegarmi per favore cosa intendi con controllore puramente proporzionale?

[ingres]

La variazione del guadagno di anello è sottesa all'introduzione di un blocco "controllore" C(s) che prende l'errore di regolazione (setpoint - variabile di processo), lo moltiplica per una costante k per fornire un'azione sul processo tale da portare il sistema in anello chiuso al valore di set point.

Se quindi ci riferiamo a questa situazione C(s) è solo un guadagno ed eroga un'azione Proporzionale all'errore. In altri casi avrai trovato che qualora questo non bastasse per ottenere errore a regime nullo si doveva introdurre un controllore C(s)=k/s, ovvero in grado di erogare un'azione di tipo Integrale dell'errore.

Quindi in generale la forma di C(s) va scelta in base al tipo di processo da controllare, anche se nella pratica spesso è utilizzato un Controllore PID (Proporzionale-Integrale-Derivativo) https://it.wikipedia.org/wiki/Controllo_PID

In questo caso se applichiamo solo C(s) = k cosa si ottiene come funzione di trasferimento in anello chiuso? Ci va bene quello che abbiamo ottenuto?

[lorenzinho23]

Ah ok penso di aver capito. Quindi dici di porre C(s) = k anziché con la tradizionale forma k/s. E quindi evitare di aggiungere altri poli in s=0 visto che già ne ho 2.
Volevo appunto sapere se era possibile fare così, ma se hai detto che la forma di C(s) può essere scelta in base al sistema allora va bene, penso che sia giusto se faccio C(s) = k.
Grazie mille per le risposte!

[ingres]

Se scegli $C(s) = k$, che in teoria va bene perchè il sistema è di tipo 2, però ottieni come funzione di trasferimento in ciclo chiuso:

$G(s) = (C(s)*P(s))/(1+C(s)*P(s)) = (2ak)/(s^2+2ak)$

che non va bene perchè il sistema è semplicemente stabile e quindi la sua uscita oltre alla risposta al riferimento (set-point) conterrà anche delle sinusoidi a pulsazione $sqrt(2ak)$.

Se scegli $C(s) = k/s$ è anche peggio perchè ottieni

$G(s) = (2ak)/(s^3+2ak)$

con radici ($b = root(3) (2ak)$)

$s= -b$
$s=b(1/2+- i sqrt(3)/2)$

cioè un sistema instabile, come peraltro si poteva dedurre dal criterio di Bode.

Per risolvere il problema si possono usare delle reti a sella oppure un semplice controllore PD ovvero del tipo

$C(s) = k_p + k_d * s$

Rifletti su quanto sopra se ti torna tutto e poi a questo punto se hai ancora problemi vediamo come sintetizzare il controllore.