[Meccanica applicata] Matrici di rotazione

[luciad]

Buongiorno ragazzi, mi servirebbe una mano per svolgere questo esercizio. Potete aiutarmi? Grazie!

Scrivere la matrice di rotazione per ruotare di 60° un punto P=(2,1,-1) attorno ad un asse parallelo al
vettore v=(1,-2,2) in terna fissa G. Si indichi quindi l’espressione delle nuove coordinate di P anche per il caso di asse non passante per l’origine ma per il punto A=(4,-2,1)

[Quinzio]

Prendi una matrice ortonormale che porti l'asse $z$ a coincidere con l'asse di rotazione.
Ad es:
$\bb M = ( ( 4/(3\sqrt2) , 0 , 1/3 ),( 1/(3\sqrt2) , 1/\sqrt2 , -2/3 ),( -1/(3\sqrt2) , 1/\sqrt2 , 2/3 ) ) $

Nota che nella terza colonna c'e' l'asse di rotazione (normalizzato).

Quindi la matrice di rotazione diventa

$\bb M \bb{R^'} \bb M^(-1)$

dove la matrice $\bb {R^'}$ e' la rotazione attorno all'asse $z$, ovvero

$\bb {R^'} = ( ( cos 60 , -sin 60 , 0 ),( sin 60 , cos 60 , 0),( 0 , 0 , 1 ) ) $.

Quindi la soluzione del problema e'

$P_(60^\circ) = \bb M \bb{R^'} \bb M^(-1) P$

dove $P$ e' un vettore colonna.

Se l'asse di rotazione non passa dall'origine ma dal punto $A$, non c'e' problema, e' sufficiente prima fare una traslazione degli assi cartesiani in modo da riportare l'asse di rotazione nell'origine, e poi fare la traslazione opposta.

$P_(60^\circ, A) = \bb M \bb{R^'} \bb M^(-1) (P-A) + A$

[luciad]

Grazie Quinzio per l'aiuto. Posso chiederti come hai scelto la matrice M?

[Quinzio]

Certo.
Una matrice ortonormale e' una matrice dove tutte le colonne (in questo caso) hanno norma 1 e sono ortogonali tra di loro a due a due.
Si prende l'asse di rotazione $z=(1,-2,2)$ e lo si normalizza, ovvero si scrive $z/||z||$ e lo si mette nella terza colonna.
Poi per l'asse $y$ si prende un qualunque vettore che abbia prodotto scalare nullo con $z$.
Non e' difficile individuare $y = (0,1,1)$ e lo si normalizza per scriverlo nella seconda colonna, $y/||y||$.
Per $x$ si fa il prodotto vettoriale $x = y \times z$. Viene automaticamente un vettore di norma 1 e ortogonale agli altri due.
Ecco qua.

[luciad]

Grazie mille, tutto chiaro!