Potenziale sul bordo di un disco

[RenzoDF]

Si può anche partire dalla determinazione della corda $r$ via angolo al centro

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

$r=2\ r_0 \sin((\pi-2\theta)/2)=2\ r_0\cos\theta$

$\text{d}r=-2\ r_0\sin\theta\ \text{d}\theta $

$L=2\ \theta\ r$

$\text{d}q=\sigma \ L \ \text{d}r$

$\text{d}V=k \ (\text{d}q) /r$

$V=\int_{\pi/2}^{0} \text{d}V \ \text{d}\theta $

$V=-\frac{\sigma\ r_0}{\pi \ \epsilon_0}\int_{\pi/2}^{0} \theta \sin\theta \ \text{d}\theta=\frac{\sigma \ r_0} {\pi \ \epsilon_0}$

@ ingres

Codice:

\arccos(\theta)

$\arccos(\theta)$

[ingres]

@Renzo

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Credo che sia effettivamente più giusto arccos(x), ma comunque arcos(x) vada bene lo stesso. Wolfram accetta arcos(x) senza problemi, mentre arccos(x) lo da come scritto sbagliato, poi però esegue il calcolo lo stesso.

[RenzoDF]

Io seguo sempre le scelte¹ di Zwillinger o di Abramowitz e Stegun

https://mathworld.wolfram.com/InverseCosine.html

che come vedi è anche le scelta di LaTeX, e il mio era un consiglio in questo senso.

L'app online alla quale fai riferimento usa WolframAlpha che interpreta correttamente anche input scorretti; per esempio

arcco(x) o arccosen(x) sono entrambe accettate.

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Note

1. E ad ogni modo quasi universalmente è usato arccos e non arcos. ↑

[L4dy222]

L'angolo non è fisso ma varia con r. Risulta in particolare

$theta = arcos(r/(2*r_0))$

Quindi $dq = 2*r*theta*sigma*dr$ nel caso di una sola faccia carica e l'integrale diventa

$V = int_0^(2r_0) 1/(4*pi*epsilon_0) (dq)/r = sigma/(2*pi*epsilon_0)*int_0^(2r_0) arcos(r/(2*r_0)) dr$

che integrato fornisce il risultato cercato.

grazie mille!! effettivamente non mi tornava molto l'angolo ma non capivo bene come renderlo funzione del raggio. grazie davvero a tutti e due!!