Mutua induzione tra circuiti

[L4dy222]

Un circuito a forma di esagono regolare ha i lati di lunghezza a = 0.135 m. Intorno al centro O dell’esagono
è posto un piccolo circuito quadrato di lato L = 2.07×10−3 m. Il tutto è nel vuoto e i due circuiti giacciono
nello stesso piano. Determinare il coefficiente di mutua induzione, in µH, tra i due circuiti.

Salve a tutti, mi sono recentemente imbattuta in questo esercizio e non sono sicura se il mio approccio alla soluzione sia corretto. In questo caso il testo mi fornisce poi solo delle opzioni numerica sulla soluzione, senza indicazioni circa lo svolgimento

inizialmente io ho pensato di risolverlo calcolando prima il flusso della somma dei campi dovuti ai singoli fili che costituiscono l'esagono per poi dividere per la corrente che ipotizzo essere la stessa sia per l'esagono che per il quadrato.
Io ho considerato come se tutti i contributi dei fili fossero gli stessi, ma non torna. Dovrei dunque calcolare i singoli contributi separatamente o c'è un modo più rapido per risolvere l'esercizio? ringrazio in anticipo chi potrà darmi una risposta


[CALCOLO DEL FLUSSO:
$int_(a(sqrt3)/2-L/2)^(a(sqrt3)/2+L/2)dx int_(-L/2)^(L/2)dy (6mu_0I/(2pix))$ ]

[RenzoDF]

... Io ho considerato come se tutti i contributi dei fili fossero gli stessi, ma non torna. Dovrei dunque calcolare i singoli contributi separatamente ...

Non torna perché hai usato la relazione valida per il campo di un filo di lunghezza infinita, mentre dovresti usare quella relativa ad un filo di lunghezza finita



$B(P)=\frac{\mu_0 i}{4 \pi h}(\sin \theta_1+\sin\theta_2)$¹.

---

Note

1. Ottenibile a partire dalla legge di Laplace
   $ \text{d}\vec{B}_{C}=\frac{\mu _{0}}{4\pi }i\ \frac{\text{d}\vec{x}\times \hat{u}_{r}}{r^{2}} $ ↑

[L4dy222]

... Io ho considerato come se tutti i contributi dei fili fossero gli stessi, ma non torna. Dovrei dunque calcolare i singoli contributi separatamente ...

Non torna perché hai usato la relazione valida per il campo di un filo di lunghezza infinita, mentre dovresti usare quella relativa ad un filo di lunghezza finita



$B(P)=\frac{\mu_0 i}{4 \pi h}(\sin \theta_1+\sin\theta_2)$¹.

Ah caspita hai ragione! grazie mille effettivamente non ci ho ripensato

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Note

1. Ottenibile a partire dalla legge di Laplace
   $ \text{d}\vec{B}_{C}=\frac{\mu _{0}}{4\pi }i\ \frac{\text{d}\vec{x}\times \hat{u}_{r}}{r^{2}} $ ↑

[RenzoDF]

Non ha senso quotare l'intero messaggio ... usa RISPONDI, non CITA

BTW Dato che la spira quadrata centrale ha dimensioni molto piccole rispetto a quelle dell'esagono, puoi tranquillamente approssimare il flusso con essa concatenato, moltiplicando il campo nel suo centro alla sua superficie (evitando una inutile integrazione), e inoltre, visto che determini il coefficiente di mutua induzione M a partire dal flusso generato dall'esagono¹, non devi supporre nulla per la corrente nel quadrato, che manco potrebbe esserci, se il flusso non varia nel tempo.

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Note

1. E non potresti fare altrimenti, in quanto sarebbe veramente difficile calcolarlo a partire dal flusso generato dalla spira quadrata. ↑

[spina3003]

Ciao a tutti riapro il topic... mi sono imbattuta nello stesso problema e sto avendo qualche difficoltà con il calcolo del campo magnetico. Ho usato il metodo che consigli @RenzoDF per il calcolo del campo magnetico al centro di una spira quadrata in un altro topic, ovvero ho calcolato il campo magnetico per ogni lato dell'esagono usando la legge di Laplace (prodotto vettoriale tra $vec s$ e $dvecl$), dopodiché ho moltiplicato per 6 e calcolato il coefficiente di mutua induzione $M=L^2B_(TOT)/i$.

Il calcolo del campo magnetico per un lato dell'esagono l'ho impostato così:

$B=\(mu_0i)/(4\pi)L/2\int_{-a/2}^{a/2} (x^2+L^2/4)^(-3/2) dx= \(mu_0i)/(4\pi)L/2 (a(a^2/4+L^2/4)^(-3/2))$.

Ipotizzo che ci siano componenti del campo magnetico simmetrico che si elidono a vicenda... grazie in anticipo

[RenzoDF]

Fammi capire, quindi vuoi determinarlo autonomamente in quel caso particolare, senza far uso della relazione generale che ho indicato, ma applicando la legge di Laplace?

Ma ora, vedendo che fai comparire anche L, lunghezza del lato del quadrato, nel calcolo, non capisco proprio come tu stia pensando di risolvere.

Le dimensioni del quadrato sono molto inferiori a quelle dell'esagono \(L\ll a\) , di conseguenza è sufficiente calcolare il campo B al centro dell'esagono e considerarlo costante su tutta la superficie $A=L^2$ del quadrato.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Per un lato dell'esagono, usando la relazione generale riportata nel post, detto h l'apotema, avremo che il campo nel centro O dell'esagono sarà

$B(O)=(\mu_0i )/(4\pi h)(2 \sin 30°)=( \mu_0 i)/(2\sqrt 3 \pi a) $

[spina3003]

Scusami ho fatto un po' di caos... ho usato sia a che L per indicare sempre a... ho sistemato così:

$B=\(mu_0i)/(4\pi)a/2\int_{-a/2}^{a/2} (x^2+a^2/4)^(-3/2) dx= \(mu_0i)/(4\pi)a/2 (a(a^2/4+a^2/4)^(-3/2))$

per il conto ho seguito il procedimento che avevi illustrato qui https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 9&t=143880. Il calcolo per un lato del quadrato dovrebbe essere lo stesso rispetto al calcolo per un lato dell'esagono giusto? Però il risultato non mi torna, penso di aver sbagliato qualcosa nell'integrale.

Poi avevo provato a fare il calcolo svolgendo il prodotto vettoriale come $dsrsin\theta$, quindi con gli angoli, ma avevo fatto un errore nel calcolo. Con la formula che hai postato qui sopra mi torna tutto. Poi per trovare il campo totale si moltiplica per 6 il campo dato da un lato visto che il campo magnetico di ciascun lato è sempre perpendicolare al piano del circuito e ha sempre lo stesso verso, mi sembra di capire.

Potresti darmi qualche dritta per quanto riguarda il calcolo con il prodotto vettoriale in coordinate cartesiane? Grazie mille

[RenzoDF]

Ho provato a risolvere chiamando L il lato dell'esagono, in pratica ho usato L invece di a ...

Ma in quella relazione compare sia $a$ che $L$.

[RenzoDF]

... ho seguito il procedimento che avevi illustrato qui
...

Quello è un caso più complesso, prova a dare un occhio a questo

https://www.matematicamente.it/forum/campo-magnetico-di-una-spira-quadrata-t42471.html#p869810

[spina3003]

Si ho visto... avevo usato entrambe perché sul mio quaderno avevo fatto il disegno usando L al posto di a... scelta infelice. Ho modificato il messaggio sopra.