Mutua induzione tra circuiti

[spina3003]

prova a dare un occhio a questo

https://www.matematicamente.it/forum/campo-magnetico-di-una-spira-quadrata-t42471.html#p869810

Grazie mille :))

[sellacollesella]

Potresti darmi qualche dritta per quanto riguarda il calcolo con il prodotto vettoriale in coordinate cartesiane?

Se scrivo cavolate sicuramente RenzoDF lo farà presente, ma se vuoi calcolare il campo magnetico \(\mathbf{B}\) in un punto \(P=(x_p,y_p,z_p)\) generato da una corrente elettrica d'intensità \(i\) che scorre lungo un filo curvilineo: \[
Q(u)=q_x(u)\mathbf{i}+q_y(u)\mathbf{j}+q_z(u)\mathbf{k},\quad u\in[a,b]
\] per la prima formula di Laplace si ha: \[
\boxed{\mathbf{B}(P)=\frac{\mu_0i}{4\pi}\int_a^b\frac{Q'(u)\times(P-Q(u))}{||P-Q(u)||^3}\text{d}u\,}
\] dove, al solito: \[
\begin{aligned}
&(u_x\mathbf{i}+u_y\mathbf{j}+u_z\mathbf{k})\times(v_x\mathbf{i}+v_y\mathbf{j}+v_z\mathbf{k})\equiv\det\begin{bmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
u_x & u_y & u_z \\
v_x & v_y & v_z \\
\end{bmatrix};\\
&||u_x\mathbf{i}+u_y\mathbf{j}+u_z\mathbf{k}||\equiv\sqrt{u_x^2+u_y^2+u_z^2}.\\
\end{aligned}
\] Il problema di fondo è che, in generale, tali integrali sono molto rognosi, quindi a mano ci si riduce all'analisi di casi ultra speciali, considerando geometrie simmetriche e calcolando il campo magnetico lungo un asse di simmetria, per questo vengono molto comode le formulazioni specifiche che ti ha linkato RenzoDF, ma se vuoi divertirti con gli integrali puoi provare a farne a meno; in fin dei conti ognuno si diverte come può!


Ad esempio, se consideriamo una spira circolare parametrizzata come segue: \[
Q(u) = R\cos(u)\,\mathbf{i} + R\sin(u)\,\mathbf{j} + 0\,\mathbf{k},\quad u\in[0,2\pi)
\] considerando i punti \(P=(0,0,z)\) di un asse di simmetria, si ha: \[
\begin{aligned}
\mathbf{B}(P)
&=\frac{\mu_0i}{4\pi}\int_0^{2\pi}\frac{Q'(u)\times(P-Q(u))}{||P-Q(u)||^3}\text{d}u\\
&=\frac{\mu_0i}{4\pi}\int_0^{2\pi}\left(\frac{R\,z\cos(u)}{\left(R^2+z^2\right)^{3/2}}\,\mathbf{i}+\frac{R\,z\sin(u)}{\left(R^2+z^2\right)^{3/2}}\,\mathbf{j}+\frac{R^2}{\left(R^2+z^2\right)^{3/2}}\,\mathbf{k}\right)\text{d}u\\
&=0\,\mathbf{i}+0\,\mathbf{j}+\frac{\mu_0\,i\,R^2}{2\left(R^2+z^2\right)^{3/2}}\,\mathbf{k}.
\end{aligned}
\]
Oppure, altro classico esempio, se consideriamo una spira quadrata di vertici: \[
A=\left(\frac{L}{2},\frac{L}{2},0\right),
\quad
B=\left(-\frac{L}{2},\frac{L}{2},0\right),
\quad
C=\left(-\frac{L}{2},-\frac{L}{2},0\right),
\quad
D=\left(\frac{L}{2},-\frac{L}{2},0\right)
\] possiamo parametrizzare i quattro lati nel seguente modo: \[
\begin{aligned}
&Q_1(u) = A + (B - A)u,\quad u\in[0,1]\\
&Q_2(u) = B + (C - B)u,\quad u\in[0,1]\\
&Q_3(u) = C + (D - C)u,\quad u\in[0,1]\\
&Q_4(u) = D + (A - D)u,\quad u\in[0,1]\\
\end{aligned}
\] e considerando i punti \(P=(0,0,z)\) di un asse di simmetria, si ha: \[
\begin{aligned}
\mathbf{B}(P)
&=\frac{\mu_0i}{4\pi}\int_0^1\left(\sum_{k=1}^4\frac{Q_k'(u)\times(P-Q_k(u))}{||P-Q_k(u)||^3}\right)\text{d}u\\
&=\frac{\mu_0i}{4\pi}\int_0^1\left(0\,\mathbf{i}+0\,\mathbf{j}+\frac{4\sqrt{2}\,L^2}{\left(L^2+2z^2+2L^2u(u-1)\right)^{3/2}}\,\mathbf{k}\right)\text{d}u\\
&=0\,\mathbf{i}+0\,\mathbf{j}+\frac{2\sqrt{2}\,\mu_0\,i\,L^2}{\pi\left(L^2+4z^2\right)\sqrt{L^2+2z^2}}\,\mathbf{k}.
\end{aligned}
\]
Ma, si sa bene, l'appetito viene mangiando! Se ora ci facciamo prendere la mano e consideriamo un generico poligono regolare di lato \(L=2R\sin(\pi/n)\) inscritto in una circonferenza di raggio \(R>0\) e asse z, si ottiene: \[
\mathbf{B}(P)=0\,\mathbf{i}+0\,\mathbf{j}+\frac{\tan(\pi/n)}{\pi/n}\frac{\mu_0\,i\,R^2}{2\left(R^2+z^2/\cos^2(\pi/n)\right)\sqrt{R^2+z^2}}\,\mathbf{k}
\] che putacaso al limite per \(n\to\infty\) collima con il campo magnetico della spira circolare! Coincidenze?!


Naturalmente, poi ci si può divertire ancora considerando un filo rettilineo infinito: \[
Q(u) = 0\,\mathbf{i} + 0\,\mathbf{j} + u\,\mathbf{k},\quad u\in(-\infty,+\infty)
\] e considerando i punti \(P=(R\cos(\theta),R\sin(\theta),z)\) di una superficie cilindrica, si ha: \[
\begin{aligned}
\mathbf{B}(P)
&=\frac{\mu_0i}{4\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{Q'(u)\times(P-Q(u))}{||P-Q(u)||^3}\text{d}u\\
&=\frac{\mu_0i}{4\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\left(\frac{-R\sin(\theta)}{\left(R^2+(u-z)^2\right)^{3/2}}\,\mathbf{i}+\frac{R\cos(\theta)}{\left(R^2+(u-z)^2\right)^{3/2}}\,\mathbf{j}+0\,\mathbf{k}\right)\text{d}u\\
&=\frac{\mu_0i}{2\pi R}\left(-\sin(\theta)\,\mathbf{i}+\cos(\theta)\,\mathbf{j}+0\,\mathbf{k}\right)
\end{aligned}
\] che, se non vado errando, va sotto il nome di legge di Biot-Savart. E così via!

[spina3003]

Grazie mille!! molto interessante, lo terrò presente nel caso in cui mi si presentino geometrie più particolari.

[RenzoDF]

... in fin dei conti ognuno si diverte come può! ...

Per chi come me è ancora legato ai metodi risolutivi egizi,
... come per esempio il seguente,



faresti vedere anche il caso del campo magnetico in un punto P fuori asse di una spira circolare di raggio R, realizzata con un conduttore di diametro d ?

[sellacollesella]

faresti vedere anche il caso del campo magnetico in un punto P fuori asse di una spira circolare di raggio R, realizzata con un conduttore di diametro d ?

Fuori asse escono integrali ellittici già nel caso filiforme, figuriamoci in quello non filiforme! Però se ci accontentiamo di integrare numericamente credo sia possibile, no?! Il tutto sta a generalizzare in modo corretto la formulazione di cui sopra. Ci provo, in caso correggimi che su 'ste cose non ho molta pratica.

Se l'asse del conduttore elettrico è una curva regolare: \[
\mathbf{q}(u)=q_x(u)\mathbf{i}+q_y(u)\mathbf{j}+q_z(u)\mathbf{k},\quad u\in[a,b]
\] calcolati i versori tangente, normale e binormale: \[
\mathbf{t}(u)=\frac{\mathbf{q}'(u)}{||\mathbf{q}'(u)||},
\quad\quad
\mathbf{n}(u)=\frac{\mathbf{t}'(u)}{||\mathbf{t}'(u)||},
\quad\quad
\mathbf{b}(u)=\mathbf{t}(u)\times\mathbf{n}(u)
\] i punti del conduttore sono parametrizzabili come: \[
Q(u,v,w)=\mathbf{q}(u)+v\cos(w)\,\mathbf{n}(u)+v\sin(w)\,\mathbf{b}(u),\quad(u,v,w)\in[a,b]\times[0,r]\times[0,2\pi).
\] Pertanto, noto il campo vettoriale densità di corrente elettrica: \[
\mathbf{J}(u,v,w)=\frac{i}{\pi r^2}\,\mathbf{t}(u)
\] il campo magnetico \(\mathbf{B}\) generato nei punti \(P=(x,y,z)\) vale: \[
\boxed{\mathbf{B}(P)=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_a^b\int_0^r\int_0^{2\pi}\frac{\mathbf{J}(u,v,w)\times(P-Q(u,v,w))}{||P-Q(u,v,w)||^3}\left|\det\nabla Q(u,v,w)\right|\text{d}u\,\text{d}v\,\text{d}w\,}.
\] Nel caso limite in cui \(r \to 0^+\) ci si riduce alla formulazione di cui sopra. Può andare?