[Elettrotecnica] Circuito a regime sinusoidale permanente - Induttori mutuamente accoppiati

[lucottoDA]

Ciao a tutti!
Sto cercando di risolvere degli esercizi presi da prove di anni passati sottoposte dal mio docente, e che mancano quindi di soluzioni per ovvi motivi.
Vi chiedo intanto se i ragionamenti proposti nell'esercizio sottostante possono andare, e inoltre, se esiste, un modo per verificare anche a spanne che i risultati ricavati possano avere senso.
Apro una parentesi: ho provato a simulare il circuito in questione con PSpice ma non mi è chiaro che parametri andare a vedere (per esempio, quando sto risolvendo un esercizio, nella pratica opero a frequenza di risonanza?)

Ad ogni modo l'esercizio è il seguente:

https://i.imgur.com/TAgBB0R.png

Mi è richiesto di disegnare l'equivalente Thevenin visto ai capi di R1, nonché la potenza complessa assorbita da questo resistore.
Nel passaggio 1 calcolo intanto le impedenze dei singoli componenti applicando le seguenti definizioni: $dot z_L = j\omegaL$ e $dot z_C = -j/(\omegaC)$ - per il fasore $\barE$ divido l'ampiezza per $\sqrt2$ per lavorare col valore efficace ed elevo l'esponenziale a j-fase.
Mi rendo conto che il coefficiente di accoppiamento è 1 e quindi capisco di poter rappresentare i due induttori mutuamente accoppiati come un trasformatore $a:1$ dove $a = L_1/M$ con lo stesso induttore $L_1$ in parallelo.
Nel passaggio 2 mi occupo di riportare tutto al primario moltiplicando $R_2$ e $dot z_C$ per $a^2$ - li ribattezzo $\tilde{R_2}$ e $\tilde{dot z_C}$ per evitare confusione.

https://i.imgur.com/5ckovEm.png

In questa seconda slide mi occupo dell'equivalente Thevenin: spengo tutti i generatori indipendenti e, immaginando di accendere un generatore di corrente al posto di $R_1$, calcolo l'impedenza equivalente da lui vista: $dot z_{eq}=(\tilde{R_2}+\tilde{dot z_C})////dot z_{L1}$.
Nel disegno sotto calcolo la tensione a vuoto $V_0$ ai capi di $R_1$ e mi rendo conto che, una volta semplificate le impedenze, la tensione a vuoto è proprio uguale alla tensione fissata dal generatore sul suo lato.
Disegno così l'equivalente Thevenin, da cui posso ricavare la potenza assorbita da $R_1$ come scritto.

Fatemi sapere se ho scritto castronerie, e vi ringrazio in anticipo. Scusate il papirone!

[Quinzio]

Puoi copiare, per favore, il testo originale dell'esercizio, o metti un link, o fai un copia/incolla. Grazie.

[lucottoDA]

https://i.imgur.com/WQ30c1k.png

eccolo!

[Quinzio]

Ok.

Se queste sono le equazioni dell'induttanza mutua:

${ ( \Phi_1 = L_1 i_1 + M i_2 ),( \Phi_2 = L_2 i_2 + M i_1 ):}$

in regime sinusiodale:

${ ( V_1 = j\omega L_1 I_1 + j\omega M I_2 ),( V_2 = j\omega L_2 I_2 + j\omega M I_1 ):}$

oppure

${ ( V_1 = X_{L1} I_1 + X_{M} I_2 ),( V_2 = X_{L2} I_2 + X_{M} I_1 ):}$

poi

${ ( V_1 = X_{L1} I_1 + X_{M} I_2 ),( -(R_2 + X_C)I_2 = X_{L2} I_2 + X_{M} I_1 ):}$

${ ( V_1 = X_{L1} I_1 + X_{M} I_2 ),( I_2 = X_{M}/ -(R_2 + X_C+X_{L2}) I_1 ):}$

Risulta

$V_1/I_1 = X_{L1} - X_{M}^2 / (R_2 + X_C+X_{L2}) $

e questa e' l'impedenza che vede $R_1$ e quella ai capi della mutua induttanza, dal lato 1.

La potenza assorbita dalla resistenza (che puo essere solo attiva, non ha potenza reattiva):

$P_{R1} = R_1 |V_{"eff"}/(R_1 + X_{L1} - X_{M}^2 / (R_2 + X_C+X_{L2})) |^2$

[RenzoDF]

... Fatemi sapere se ho scritto castronerie,...

No, non le hai scritte, l'unica cosa che non capisco è perché chiedi se simulando devi operare a una
(fantomatica) "frequenza di risonanza", mentre, come ovvio, dovrai usare la frequenza relativa alla pulsazione del generatore.

... non mi è chiaro che parametri andare a vedere ...

Andrai a controllare i due parametri richiesti, ovvero la tensione a vuoto fra i morsetti sui quali insiste R1, e l'impedenza vista dagli stessi una volta "spento" il GIT, forzandoli con un generatore ausiliario.
Per il resto hai seguito un metodo corretto, anche se i calcoli non li ho controllati; prova a confrontare i tuoi risultati con quelli che puoi ottenere dal metodo che ti ha esposto Quinzio, poi ci informi se i conti tornano.

NB Per semplificare i calcoli, in presenza di un solo generatore, puoi tranquillamente considerarlo a fase nulla.

...
${ ( V_1 = X_{L1} I_1 + X_{M} I_2 ),( V_2 = X_{L2} I_2 + X_{M} I_1 ):}$
...

${ ( V_1 = jX_{L1} I_1 + jX_{M} I_2 ),( V_2 = jX_{L2} I_2 + jX_{M} I_1 ):}$

Le reattanze sono numeri reali, non complessi.

[RenzoDF]

La simulazione (via LTspice)



conferma i tuoi risultati numerici

[Quinzio]

Le reattanze sono numeri reali, non complessi.

Hai ragione. Era da un bel po' che non usavo queste formule e me ne ero completamente dimenticato.
Per questa volta facciamo uno strappo alla regola e facciamo finta che il $j$ sia stato mangiato dalle $X$.

[lucottoDA]

Fantastico, grazie ad entrambi! Non mi aspettavo che i conti fossero giusti ahahah
Riguardo la domanda sulla frequenza di risonanza, era semplicemente un dubbio derivante dalla parte teorica del corso, alimentato dalla miriade di informazioni che sto cercando di memorizzare in vista dell'esame e che mi hanno effettivamente fatto spegnere il cervello, sebbene come mi ha fatto notare @RenzoDF la frequenza interessata era chiaramente insita nell'equazione del generatore.

Grazie di nuovo!