Scienza delle costruzioni: sistema isostatico in 3D

[fede_1_1]

Salve, mi sono imbattuto in questo esercizio che ho provato a svolgere. Qualcuno sa dirmi se ho mancato qualcosa?



Per il calcolo delle reazioni vincolari nell'incastro ho impostato le 6 equazioni cardinali secondo i versi riportati nella figura seguente (figura a sx):



Quindi impostando l'equilibrio rispettivamente lungo gli assi $x,y,z$ ottengo:
\[ X_A=0; \: \: Y_A=0; \: \: Z_A=P+2P=3P \]

Per l'equilibrio dei momenti prendo come polo A e sfrutto la definizione stessa di momento. Analizziamo prima il vettor momento dato dalla forza P. Il vettore che congiunge A con C avrà componenti:
$ \vec{AC}=(4l,-l,2l)$. Mentre il vettore della forza P sarà $\vec{P}=(0,0,P)$. Quindi:
\[ \vec{AC} \times \vec{P}=det \begin{bmatrix} i & j & k \\ 4l & -l & 2l \\ 0 & 0 & P
\end{bmatrix} =(-Pl,-4Pl,0) \]

Definendo con la stessa logica $\vec{AE}=(4l,2l,2l)$ e $\vec{2P}=(0,0,2P)$, moltiplicandoli vettorialmente si ottiene:
\[ \vec{AE} \times \vec{2P}=det \begin{bmatrix} i & j & k \\ 4l & 2l & 2l \\ 0 & 0 & 2P \end{bmatrix}=(4Pl,-8Pl,0) \]

Le equazioni per la rotazione rispettivamente attorno agli assi x,y,z diventano:
\begin{cases}
-Pl+M_x+4Pl=0 \\
M_y-4Pl-8Pl=0 \\
M_z=0
\end{cases}

Che conducono quindi alle reazioni:
\begin{cases}
X_A=0 \\ Y_A=0 \\ Z_A=3P \\ M_x=-3Pl \\ M_y=12Pl \\ M_z=0
\end{cases}

Per quanto riguarda le caratteristiche lungo il tratto AB, con riferimento alla figura a destra, si possono scrivere le seguenti equazioni per gli equilibri di traslazione.
\[ N=0; \: \: T_z=0; \: \: T_y=0 \]

Mentre definendo il vettore che congiunge A con la sezione tagliata (quest'ultima sarà il polo) si ottiene $\vec{S}=(-s,0,0)$. L'unica forza che dà momento è la reazione $Z_A=3P$. Quindi:
\[
\vec{S} \times (0,0,3P)=(0,+3Ps,0) \]
Quindi si ottengono:
\[ \begin{cases}
M_x-3Pl=0 \\ M_y+12Pl+3Ps=0 \\ M_z=0
\end{cases} \]
Quindi le uniche caratterische non nulle sono il taglio lungo $z$ che è costantemente $T_z=3P$ e il momento $M_y=-3Ps-12Pl$ che ha andamento lineare lungo $AB$.

Può andare? Intanto vediamo se ciò che ho fatto per il tratto AB è corretto, poi proverò a scrivere le equazioni pure per BD!

Grazie per aver letto fin qua :]

[sellacollesella]

Data la seguente struttura isostatica:

\(\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\)

al solito, la svincoliamo e introduciamo le rispettive reazioni vincolari:

\(\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\)

quindi, imponiamo l'equilibrio sia alla traslazione che alla rotazione rispetto al polo \(A\): \[
\begin{cases}
F_x = 0 \\
F_y = 0 \\
F_z-P-2P = 0 \\
M_x+PL-(2P)(2L) = 0 \\
M_y+P(4L)+(2P)(4L) = 0 \\
M_z = 0 \\
\end{cases}
\quad \quad \quad \Leftrightarrow \quad \quad \quad
\begin{cases}
F_x = 0 \\
F_y = 0 \\
F_z = 3P \\
M_x = 3PL \\
M_y = -12PL \\
M_z = 0 \\
\end{cases}.
\] Ciò fatto, non rimane che spezzare la travatura in una sezione retta \(G(s,0,0)\) con \(0 < s < 4L\):

\(\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\)

e imporre nuovamente l'equilibrio sia alla traslazione che alla rotazione rispetto al polo \(G\): \[
\begin{cases}
T_x(s) = 0 \\
T_y(s)-3P = 0 \\
N(s) = 0 \\
M_x(s)+12PL-3Ps = 0 \\
M_y(s) = 0 \\
M_z(s)+3PL = 0 \\
\end{cases}
\quad \quad \quad \Leftrightarrow \quad \quad \quad
\begin{cases}
T_x(s) = 0 \\
T_y(s) = 3P \\
N(s) = 0 \\
M_x(s) = -12PL+3Ps \\
M_y(s) = 0 \\
M_z(s) = -3PL \\
\end{cases}.
\] A te proseguire spezzando la travatura in una sezione retta \(G(4L,0,s)\) con \(0 < s < 2L\).

[fede_1_1]

Ciao, innanzitutto ti ringrazio molto per la risposta! ^^
Prima di cimentarmi nella seconda parte dell'esercizio, vorrei dei chiarimenti sui segni dei momenti delle forze P e 2P. Essenzialmente a me venivano di segno opposto: perché, ad esempio, nella quarta equazione del primo sistema che hai scritto i segni sono $+PL$ e $-4PL$?

[sellacollesella]

La risoluzione di una struttura isostatica consta essenzialmente di due parti: la determinazione delle reazioni vincolari (interne od esterne che siano) e la successiva determinazione delle sollecitazioni interne. In tutte e due le fasi risolutive si necessita di fissare preliminarmente un sistema di riferimento tridimensionale.

In particolare, nella prima fase si necessita di un sistema di riferimento globale, la cui origine e disposizione degli assi è dettata solo da questioni di comodo, purché poi risulti essere destrorso. In questo caso gli assi erano già stati decisi dall'autore del problema, io ho solo deciso di fare coincidere l'origine con \(A\), dato che rendeva i conti un pochetto più semplici.

Invece, nella seconda fase si necessita di un sistema di riferimento locale, che dovrà essere reimpostato per ogni spezzone omogeneo di trave, il quale dovrà essere nuovamente destrorso, ma anche centrale d'inerzia, ossia con l'origine nel centro di massa della sezione retta e gli assi paralleli alle direzioni principali d'inerzia. Nel caso di sezioni omogenee doppiamente simmetriche tale sistema di riferimento è presto individuato.

Assodato tutto ciò, non rimane che capire come "scrivere" le equazioni di equilibrio. In particolare, circa gli equilibri alla traslazione si sommano le forze parallele agli assi x, y, z con segno positivo se di verso concorde, negativo altrimenti. Analogamente, circa gli equilibri alla rotazione si sommano i momenti delle forze attorno agli assi x, y, z con segno positivo se inducono una rotazione della struttura in accordo con la regola della mano destra, negativo altrimenti.

Ad esempio, circa la forza di intensità \(P\), nell'equilibrio alla traslazione in direzione z deve essere considerata col segno negativo, avendo verso discorde, mentre nell'equilibrio alla rotazione attorno all'asse x deve essere considerata col segno positivo in quanto induce una rotazione della struttura in accordo con la regola della mano destra. Infatti, se disponiamo la mano destra con il pollice equiverso con l'asse x e arricciamo le altre dita dall'asse y verso l'asse z, quello è esattamente il verso della rotazione indotta dalla forza di intensità \(P\) rispetto all'asse x. Considerazioni del tutto analoghe si possono fare anche per la forza di intensità \(2P\).

[fede_1_1]

Grazie millee!! Tra l'altro nel mio conteggio con i vettori mi sono accorto di aver fatto un pastrocchio con alcuni segni...aggiustandoli ho avuto la riprova che la regola della leva che mi hai insegnato funziona in egual misura :]

Adesso, nel tratto verticale c'è da prendere il sistema di riferimento locale che dovrebbe essere convenzionale. Lo riporto in figura sperando di non averlo sbagliato



Scrivo le 6 equazioni cardinali della statica, inizio con quelle traslazionali rispettivamente lungo l'asse di $N$,$T_1$ e $T_2$.
\[ N+3P=0; \: \: \: T_2=0; \: \: \: T_1=0 \]
Ossia: $N=-3P$ , $T_2=0$ e $T_1=0$.

Passo alle equazioni dei momenti...
\[ \begin{cases}
M_2+3Pl=0 \\ M_1+12Pl-12Pl=0 \\ M_3=0
\end{cases} \]

Quindi $M_2=-3Pl$ , $M_1=0=M_3$. Nessuna caratteristica dipende da $s$

[sellacollesella]

Disegno corretto, calcoli corretti. Fine della correzione.

D'altro canto, se ti puzzasse il fatto che non vi sia alcuna sollecitazione dipendente da \(s\), fai la controprova, ossia considera l'altra metà travatura a T che si ottiene nel tagliare internamente a \(BD\) e vedi che ti esce.

[fede_1_1]

Perfettissimo, grazie molte ancora! :] Sei stat* molto chiar* !!