Assegnata la seguente
struttura 1-iperstatica:
al solito, la svincoliamo e introduciamo le rispettive
reazioni vincolari:
Quindi, ripristiniamo l'
equilibrio di tutti i corpi esplosi: \[
\begin{cases}
H_A = 0 \\
V_A + X + V_C - 3\,q\,L = 0 \\
X\,(L) + V_C\,(3\,L) - (3\,q\,L)\left(\frac{3}{2}L\right) = 0 \\
\end{cases}
\quad \quad \quad \Leftrightarrow \quad \quad
\begin{cases}
H_A = 0 \\
V_A = \frac{9qL-4X}{6} \\
V_C = \frac{9qL-2X}{6} \\
\end{cases}
\] tramite le quali possiamo determinare le
sollecitazioni interne ad ogni tratto della struttura: \[
\begin{aligned}
& \begin{cases}
N_{AB}(s) = 0 \\
T_{AB}(s) = V_A - q\,s \\
M_{AB}(s) = V_A\,s - (q\,s)\,\frac{s}{2} \\
\end{cases} \quad \text{con} \; 0 \le s \le L\,; \\
\\
& \begin{cases}
N_{CB}(s) = 0 \\
T_{CB}(s) = -V_C + q\,s \\
M_{AB}(s) = V_C\,s - (q\,s)\,\frac{s}{2} \\
\end{cases} \quad \text{con} \; 0 \le s \le 2L\,; \\
\\
& \begin{cases}
N_{BB'}(s) = -X \\
T_{BB'}(s) = 0 \\
M_{BB'}(s) = 0 \\
\end{cases} \quad \text{con} \; 0 \le s \le \frac{L}{4}\,; \\
\\
& \begin{cases}
N_{CC'}(s) = -V_C \\
T_{CC'}(s) = 0 \\
M_{CC'}(s) = 0 \\
\end{cases} \quad \text{con} \; 0 \le s \le \frac{L}{2}\,. \\
\end{aligned}
\] Ciò fatto, ripristiniamo anche la
congruenza, ossia grazie al
principio dei lavori virtuali:
\[
\color{red}{\boxed{\int\limits_{\text{struttura}} \left[N_f(s)\left(\frac{N_r(s)}{EA}+\alpha\,\frac{T_i+T_s}{2}\right) + T_f(s)\,\frac{T_r(s)}{GA_s} + M_f(s)\left(\frac{M_r(s)}{EJ}+\alpha\,\frac{T_i-T_s}{h}\right)\right]\text{d}s + \sum_{i=1}^{\text{n°molle}} R_{f,i}\,\frac{R_{r,i}}{k_i} = \sum_{i=1}^{\text{n°cedimenti}} R_{f,i}\,s_{r,i}}}
\] che nel caso in esame è evidente si semplifichi in: \[
\int\limits_{\text{struttura}} \left(N_f(s)\frac{N_r(s)}{EA} + M_f(s)\frac{M_r(s)}{EJ}\right)\text{d}s = 0
\] e dato che \(EJ = EAL^2/2\) ne consegue che: \[
\int\limits_{\text{struttura}} \left(L^2N_f(s)N_r(s) + 2M_f(s)M_r(s)\right)\text{d}s = 0.
\] Non rimane che sviluppare tale integrale in ogni tratto della struttura: \[
\int_0^{\frac{L}{4}} L^2\frac{\partial N_{BB'}(s)}{\partial X}N_{BB'}(s)\,\text{d}s + \int_0^{\frac{L}{2}} L^2\frac{\partial N_{CC'}(s)}{\partial X}N_{CC'}(s)\,\text{d}s + \\ + \int_0^L 2\frac{\partial M_{AB}(s)}{\partial X}M_{AB}(s)\,\text{d}s + \int_0^{2L} 2\frac{\partial M_{CB}(s)}{\partial X}M_{CB}(s)\,\text{d}s = 0
\] ossia, integrando, si ottiene: \[
\left(\frac{XL^3}{4}\right) + \left(\frac{XL^3}{18}-\frac{qL^4}{4}\right) + \left(\frac{8XL^3}{27}-\frac{qL^4}{2}\right) + \left(\frac{16XL^3}{27}-\frac{4qL^4}{3}\right) = 0
\] equazione verificata se e solo se: \[
\boxed{X = \frac{75}{43}\,q\,L}
\] Naturalmente, nessuno vieta di considerare una
struttura isostatica associata con:
- \(q \ne 0\) e \(X = 0\), da cui ricavare \(N_0\), \(M_0\) in ogni tratto della struttura;
- \(q = 0\) e \(X = 1\), da cui ricavare \(N_1\), \(M_1\) in ogni tratto della struttura;
quindi calcolare l'
incognita iperstatica tramite "formuletta magica": \[
X = -\frac{\int_{\text{struttura}}\left(\frac{N_0N_1}{EA} + \frac{M_0M_1}{EJ}\right)\text{d}s}{\int_{\text{struttura}}\left(\frac{N_1N_1}{EA} + \frac{M_1M_1}{EJ}\right)\text{d}s} = -\frac{-\frac{qL^2}{4EA}-\frac{11qL^4}{12EJ}}{\frac{11L}{36EA}+\frac{4L^3}{9EJ}} \overset{EJ \to EAL^2/2}{=} \frac{75}{43}\,q\,L
\] dove si dovrebbe evincere chiaramente che numeratore e denominatore sono i "tuoi" coefficienti a cui è
stato sommato il contributo delle bielle, che sono pure loro dei corpi che compongono l'intera struttura.
