Scienza delle costruzioni: diagramma risultante totale

[fede_1_1]

Salve, buon Santo Stefano! ^^ Oggi mi sono imbattuto in questo esercizio, i cui primi punti non mi recano dubbio, al contrario dell'ultimo.



Infatti il punto 2 l'ho fatto come in figura; per non tediare con i conti ho solo riportato gli andamenti generali.



Ecco, per ciò che chiama diagramma risultante totale, come devo fare? Ho trovato a sommare i diagrammi dipendenti dall'asse $x_2$, disegnando quindi il terzo a destra. Tuttavia in questo diagramma non ho considerato le tensioni $\sigma_z=-\frac{M_{22}}{J_{22}}x_1$, quindi non è forse il diagramma totale che intendeva il testo...

Ho pensato che potesse essere un diagramma in funzione della distanza dall'asse di flessione, ma nella formula:
\[
\sigma_z=\dfrac{M_n}{\bar{J_n}}f
\]
non ho idea di come calcolare nè $M_n$ nè $\bar{J_n}$. Qualche idea?

EDIT: Un'idea per calcolare $M_n$ ce l'avrei pure... definito $\beta$ l'angolo con l'asse $x_1$ del vettore $\vec{M}=(M_{11},M_{22})$ e $\gamma$ l'angolo sempre con l'asse $x_1$ dell'asse neutro, allora detto $\alpha=\beta-\gamma$ si ha:
\[ M_n=\Vert M \Vert \cos{\alpha} \]

[sellacollesella]

Data la seguente sezione in parete sottile soggetta a tenso-flessione deviata:

\(\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\)
\[ N = 1\cdot 10^5 N,
\quad \quad
M_x = 1.2\cdot 10^7\,N\,mm,
\quad \quad
M_y = 6\cdot 10^5\,N\,mm,
\\
b = 90\,mm,
\quad \quad
h = 180\,mm,
\quad \quad
t_a = 6\,mm,
\quad \quad
t_f = 9\,mm
\] preliminarmente calcoliamo i seguenti parametri geometrici: \[
\begin{aligned}
& A = b\,t_f+h\,t_a = 1890\,mm^2; \\
& x_G = \frac{\left(\frac{b}{2}\right)(b\,t_f)+\left(\frac{b}{2}\right)(h\,t_a)}{A} = 45\,mm; \\
& y_G = \frac{\left(0\right)(b\,t_f)+\left(\frac{h}{2}\right)(h\,t_a)}{A} = 51.4\,mm; \\
& \begin{aligned}
J_x & =
\frac{b\,t_f^3}{12} + (b\,t_f)\left(0-y_G\right)^2 +
\frac{t_a\,h^3}{12} + (h\,t_a)\left(\frac{h}{2}-y_G\right)^2 = 6.67\cdot 10^6\,mm^4;
\end{aligned} \\
& \begin{aligned}
J_y & =
\frac{t_f\,b^3}{12} + (b\,t_f)\left(\frac{b}{2}-x_G\right)^2 +
\frac{h\,t_a^3}{12} + (h\,t_a)\left(\frac{b}{2}-x_G\right)^2 = 5.50\cdot 10^5\,mm^4.
\end{aligned} \\
\end{aligned}
\] Ciò fatto è tutto in discesa, in quanto direttamente dall'integrazione del problema di Saint-Venant: \[
\sigma_z(x,y) = \frac{N}{A} + \frac{M_x}{J_x}y - \frac{M_y}{J_y}x = 52.9 + 1.80\,y - 1.09\,x
\] da cui ne consegue che, per definizione, l'equazione dell'asse neutro si determina ponendo: \[
\sigma_z(x,y) = 0
\quad \quad \Leftrightarrow \quad \quad
\color{green}{y = 0.606\,x - 29.4}
\] e quindi il diagramma della tensione normale a cui è soggetta la sezione è il seguente:

\(\quad\quad\)

dove i due punti più sollecitati della sezione risultano essere: \[
{\color{red}{\sigma_z\left(0,\,y_G-h\right) = -178\,\text{MPa}}},
\quad \quad \quad \quad
{\color{red}{\sigma_z\left(-\frac{b}{2},\,y_G\right) = +194\,\text{MPa}}}.
\] Buon S. Stefano pure a te, ciao!

[fede_1_1]

Perfettissimo, grazie mille!! Quindi i valori $-178 MPa$ e $+194 MPa$ sono calcolati con la funzione $\sigma_z(x,y)$ nei punti in cui le retteparallele a $n$ sono tangenti alla sezione? E' questo il criterio?

[sellacollesella]

In un esercizio di questo tipo i passi salienti sono i seguenti:

• determinazione dei parametri geometrici di cui sopra, i quali risultano essere sufficienti a determinare la posizione del sistema di riferimento centrale d'inerzia ogni qual volta la sezione abbia almeno un asse di simmetria, altrimenti occorre determinare anche l'angolo di rotazione di tale sistema di riferimento tramite la risoluzione di un problema agli autovalori/autovettori;
  
  
• determinazione della tensione normale a cui è soggetta la sezione tramite la formulazione di cui sopra, valida per qualsiasi tipologia di sezione, a patto che valgano le ipotesi del problema di Saint-Venant (valide in qualsiasi problema di Scienza delle Costruzioni, per cui su questo puoi stare tranquillo);
  
  
• determinazione dell'equazione dell'asse neutro come luogo dei punti in cui si annulla la tensione normale precedentemente calcolata, retta che per essere tracciata è sufficiente individuare due punti comodi, ad esempio \((0,-29.4)\) e \((48.5,0)\), quindi con un righello tracciare la retta per tali punti;
  
  
• posizionato il righello parallelamente all'asse neutro occorre farlo scorrere in direzione perpendicolare individuando le cosiddette radenti ai punti estremi della sezione, che saranno proprio quelli in cui la tensione normale è massima (in termini assoluti chiaramente, una sarà negativa e l'altra positiva);
  
  
• tracciare la cosiddetta "fondamentale", ossia un segmento perpendicolare alle tre rette appena tracciate che sarà la base del nostro diagramma a farfalla, la cui posizione può essere scelta a piacere, in genere si traccia esternamente alla sezione per far sì che il diagramma non si sovrapponga alla sezione stessa;
  
  
• infine, tracciare il segmento che passa per il punto di intersezione dell'asse neutro con la fondamentale e che ha estremi sulle rette radenti la sezione, individuando così il diagramma a farfalla di cui sopra.

Ciò fatto, non rimane che computare le tensioni massime nei due punti di coordinate deducibili dal grafico appena tracciato. Come vedi, se la sezione ha almeno un asse di simmetria va veramente di lusso!

[fede_1_1]

Capito tutto, spiegazione estremamente chiara e lineare! ^^ Grazie ancora, buona serata! :]