Purtroppo devi aver sbagliato qualcosa sin dal principio, perché l'incognita iperstatica non è corretta. Dopo averci riflettuto un po', ho pensato che fosse meglio mostrarti filo per segno come l'avrei risolta io, cercando di inserire più commenti possibili e facendo dei parallelismi con la metodologia che vi hanno insegnato a lezione. In tal modo dovresti essere in grado di correggerti in autonomia (perlomeno lo spero
).
Dunque, data la seguente
struttura inflessa:
\(\quad\quad\quad\)
essendo
uno-iperstatica si rende necessario fare riferimento ad una
isostatica associata ottenuta degradando un vincolo interno od esterno scelto a piacere, purché ciò non renda labile la struttura. Ad esempio, possiamo degradare il bipendolo in \(A\) in un carrello oppure l'incastro in \(E\) in una cerniera, ma non possiamo degradare l'incastro in \(E\) in un bipendolo ad asse orizzontale, altrimenti la struttura potrebbe traslare verticalmente.
Assodato tutto ciò, seguirò la tua scelta, ossia degrado l'incastro interno in \(B\) in una cerniera:
\(\quad\quad\quad\)
Quindi, al solito, svincolo la struttura introducendo le rispettive
reazioni vincolari:
e le calcolo ripristinando l'
equilibrio di ogni singolo corpo così esploso: \[
\begin{cases}
H_A + H_B = 0 \\
V_B - 2\,q\,L = 0 \\
X + W_A - (2\,q\,L)\left(\frac{L}{2}\right) = 0 \\
\\
-H_B + H_D = 0 \\
-V_B + V_D = 0 \\
-X - H_D(L) + V_D(L) = 0 \\
\\
-H_D + H_E = 0 \\
-V_D + V_E - 4\,q\,L = 0 \\
W_E + V_E(2\,L) - (4\,q\,L)(L) = 0 \\
\end{cases}
\quad \quad \quad \Leftrightarrow \quad \quad \quad
\begin{cases}
H_A = \frac{X}{L} - 2\,q\,L \\
W_A = q\,L^2 - X \\
\\
H_B = 2\,q\,L - \frac{X}{L} \\
V_B = 2\,q\,L \\
\\
H_D = 2\,q\,L - \frac{X}{L} \\
V_D = 2\,q\,L \\
\\
H_E = 2\,q\,L - \frac{X}{L} \\
V_E = 6\,q\,L \\
W_E = -8\,q\,L^2 \\
\end{cases}.
\] Ciò fatto, risulta possibile determinare le
caratteristiche della sollecitazione interna in ogni tratto: \[
\begin{aligned}
& \begin{cases}
N_{BA}(s) = -H_B \\
T_{BA}(s) = V_B - 2\,q\,s \\
M_{BA}(s) = -X + V_B(s) - (2\,q\,s)\left(\frac{s}{2}\right) \\
\end{cases} \quad \text{con} \; 0 \le s \le L\,; \\
\\
& \begin{cases}
N_{BC}(s) = V_B \\
T_{BC}(s) = H_B \\
M_{BC}(s) = X + H_B(s) \\
\end{cases} \quad \text{con} \; 0 \le s \le L\,; \\
\\
& \begin{cases}
N_{CD}(s) = H_B \\
T_{CD}(s) = -V_B \\
M_{CD}(s) = X + H_B(L) - V_B(s) \\
\end{cases} \quad \text{con} \; 0 \le s \le L\,; \\
\\
& \begin{cases}
N_{DE}(s) = H_D \\
T_{DE}(s) = -V_D - 2\,q\,s \\
M_{DE}(s) = -V_D(s) - (2\,q\,s)\left(\frac{s}{2}\right) \\
\end{cases} \quad \text{con} \; 0 \le s \le 2L\,. \\
\end{aligned}
\] A questo punto è giunto il momento di ripristinare anche la
congruenza, ossia tramite la risoluzione di un'equazione calcolare quel particolare valore di \(X\) che tenga conto del fatto che in \(B\) vi era un incastro.
Il modo più semplice per farlo consiste nel calcolare l'
energia elastica di deformazione della struttura: \[
\Phi(X) := \int_{\text{struttura}} \left(\frac{N^2(s)}{2EA}+\frac{T^2(s)}{2GA_s}+\frac{M^2(s)}{2EJ}\right)\text{d}s
\] quindi appellarsi al
teorema di Castigliano imponendo che la rotazione relativa in \(B\) sia nulla: \[
\frac{\partial\Phi}{\partial X} = 0.
\] Ora, beninteso che si tratta di integrali di funzioni polinomiali, quindi estremamente semplici dal punto di vista analitico, per via di quei quadrati i conti potrebbero essere molto tediosi e lunghi. Per tal motivo, si è soliti appellarsi al
teorema di derivazione sotto il segno di integrale che sostanzialmente ci permette di invertire le operazioni di integrazione e derivazione, cosa molto interessante perché snellisce i conti!
Pertanto, si ottiene l'equazione: \[
\int_{\text{struttura}} \left(\frac{\partial N(s)}{\partial X}\frac{N(s)}{EA}+\frac{\partial T(s)}{\partial X}\frac{T(s)}{GA_s}+\frac{\partial M(s)}{\partial X}\frac{M(s)}{EJ}\right)\text{d}s = 0
\] che se intesa in quest'altro modo: \[
\int_{\text{struttura}} \left(N_f(s)\frac{N_r(s)}{EA}+T_f(s)\frac{T_r(s)}{GA_s}+M_f(s)\frac{M_r(s)}{EJ}\right)\text{d}s = 0
\] non è altro che la formulazione del
principio dei lavori virtuali, con i pedici \(f\) per fittizio ed \(r\) per reale.
Insomma, il
teorema di Castigliano non è altro che un modo furbo di scrivere il principio di lavori virtuali (il vero totem della meccanica, super trasversale e generale), a differenza delle
formulazioni di Müller-Breslau dimostrabili proseguendo i passaggi appena mostrati, che al di là del corso di Scienza delle Costruzioni poi muoiono male, dato che non le ricorda mai nessuno!
Tornando alla formulazione di cui sopra, nell'ipotesi di struttura prevalentemente inflessa si riduce così: \[
\int_{\text{struttura}} \frac{\partial M(s)}{\partial X}\frac{M(s)}{EJ}\,\text{d}s = 0
\] ossia, applicandola alla struttura in esame, sopravvivono solo due integrali: \[
\int_0^L (-1)\,\frac{2\,q\,L\,s-q\,s^2-X}{EJ}\,\text{d}s + \int_0^L \left(1-\frac{s}{L}\right)\frac{2\,q\,L\,s+X-\frac{s}{L}\,X}{EJ}\,\text{d}s = 0
\] ovvero, integrando: \[
\left(\frac{X\,L}{EJ}-\frac{2\,q\,L^3}{3EJ}\right) + \left(\frac{X\,L}{3EJ}+\frac{q\,L^3}{3EJ}\right) = 0
\quad \quad \quad \Leftrightarrow \quad \quad \quad
\boxed{X = \frac{q\,L^2}{4}}.
\] Qualora desiderassi annotare la formulazione con cui risolvere qualsiasi struttura piana, vedi
qui.
Ciò fatto, della
struttura iperstatica ci possiamo tranquillamente dimenticare, qualsiasi operazione successiva la si farà considerando l'
isostatica associata di cui sopra con \(X \equiv q\,L^2/4\), essendo del tutto equivalente!
Nella fattispecie, ci si accorge che introducendo una coppia antioraria di intensità \(Y\) all'inizio del tratto \(BA\), così come è successo ieri, per via di quella cerniera in \(B\) l'effetto rimane confinato al tratto \(BA\), per cui la rotazione della sezione \(B\) è calcolabile integrando esclusivamente su tale tratto e ignorando tutto il resto.
In sintesi, si ha: \[
M_{BA}(s) = 2\,q\,L\,s-q\,s^2-\frac{q\,L^2}{4}-Y,
\quad \quad
\varphi_B = \lim_{Y \to 0}\int_0^L \frac{\partial M_{BA}(s)}{\partial Y}\frac{M_{BA}(s)}{EJ}\,\text{d}s = \boxed{-\frac{5}{12}\frac{q\,L^3}{EJ}},
\] dove il limite è giustificato dal fatto che nella realtà non vi è alcuna coppia di intensità \(Y\) in \(B\), è solo un artificio introdotto per applicare il
teorema di Castigliano e poi fatto sparire con un passaggio al limite!
Comunque riporto tutto così da discutere nel miglior modo possibile della terza comanda. Allego l'immagino qua di seguito
)
