[Metodi matematici]

[w3ns]

Salve a tutti! Sto studiando questa equazione differenziale:

$ y' + 5y = H(x+10)-H(x - 6) $

da risolvere tramite trasformata di Fourer.
Il dubbio riguarda la trasformata del termine a destra dell'uguale: è corretto dire che è un impulso pari con $ a= 0 $ ?

cioè $ mathbb(F)[H(x+10)] = e^(10ik) $

Grazie.

[Quinzio]

Perche' non usi semplicemente le proprieta' e le funzioni elementari nella pagina Wiki che ti ho gia' linkato ?
Sono due funzioni di Heaviside traslate. Che significa impulso pari con $a=0$ ?

[w3ns]

Ok quindi dovendo trasformare

$ H(x+10)-H(x-6) $

uso la definizione di trasformata e posso scrivere:

$ int_(-10)^(oo ) e^(-ixn) dx -int_(6)^(oo ) e^(-ixn) dx $

il cui risultato è:
$ 1/(ni)[e^(10ni) -e^(-6ni)] $


mi serve per il calcolo di una equazione differenziale:

$ y'+5y = H(x+10)-H(x-6) $

posso quindi scrivere:

$ Y = [1/(ni)[e^(10ni) -e^(-6ni)]]*1/(ni+5) $

giusto?

[w3ns]

Ho trovato un metodo più rapido per la soluzione:

Passando alla trasformata pongo $ H(x+10) - H(x-6) = F(K) $

e quindi $ F^(-1) [F(K)* 1/(5+ik)] =e^(-5x)H(x)*[H(x+10) - H(x-6)] $

calcolo quindi la convoluzione

$ int_(-oo )^(oo ) e^(-5(x-y))H(x-y)*[H(y+10) - H(y-6)] dy $

il valore della funzione di Heaviside $ H(x+10) - H(x-6) $

$ { ( 1rarry >= -10 ),( 0 rarr y < -10 ):} $
$ { ( 1rarr y>= 6 ),( 0 rarr y< 6 ):} $

in definitiva

$ -10<y<6 $

la seconda funzione di Heaviside
$ { ( 1rarr y <= x ),( 0 rarr y > x ):} $


può avere tre possibilità:

$ x in(-oo;-10) $


in questo caso $ x<y $ sempre quindi l'integrale vale $ 0 $

se
$ x in[-10;-6] $

allora
$ e^(-5x)*int_(-10)^(x) e^(5y) dy =1/5*e^(-5x)*(e^(5x)-e^(-50)) $

se $ x in [-6; oo) $

$ e^(-5x)*int_(-10)^(6) e^(5y) dy =1/5*e^(-5x)*(e^(30)-e^(-50)) $

[Quinzio]

Hai provato a sostituire le soluzioni nell'eq. differenziale per vedere se vanno bene ?

[w3ns]

si torna tutto.