[RISOLTO, Scienza delle Costruzioni]

[giuliob94]

Buonasera a tutti vi scrivo per richiesta di eventuale correzione di un esercizio di scienza delle costruzioni.
Chiedo la correzione per sapere se ho interpretato e analizzato bene la struttura.

Testo:


Svolgimento:

[sellacollesella]

Il risultato corretto è \(X = 81qL/74\) e la discrepanza con il tuo risultato è dovuta al fatto che hai commesso un errore di calcolo proprio alla fine, scrivendo \(9/2\) invece di \(9\cdot 2\). A te proseguire l'esercizio determinando le reazioni all'incastro e successivamente l'abbassamento massimo della trave che, bada bene, non sappiamo a priori in che punto si verifichi, tocca stabilirlo tramite i calcoli. Qualora l'abbiate studiata, questo è un caso che si sposa bene con l'integrazione della linea elastica secondo il modello di trave alla Eulero-Bernoulli.

[giuliob94]

grazie mille per l'aiuto.
per le reazioni all'incastro mi è tutto chiaro.
per l'abbassamento della trave invece non saprei come fare e purtroppo non abbiamo visto l'integrazione della linea elastica secdono il modello di trave alla Eulero-Bernoulli.

[sellacollesella]

Se non l'avete vista, poco male, ci facciamo bastare il principio dei lavori virtuali, ci metteremo qualche minuto in più rispetto all'integrazione della linea elastica ma arriveremo allo stesso e identico risultato.

Nella fattispecie, ora dell'iperstatica possiamo tranquillamente dimenticarci, dato che i conti di cui sopra permettono di considerare un'isostatica associata del tutto equivalente, ossia una mensola incastrata all'estremo sinistro, con un carico distribuito verticalmente, in giù, di intensità \(q\) e una forza applicata all'estremo destro libero: verticale, in su e di intensità \(81qL/74\).

Pertanto, non sapendo a priori in che punto calcolare l'abbassamento della mensola, applichiamo una forza fittizia verticale, rivolta verso il basso ad una generica distanza \(x\) dall'estremo sinistro e di conseguenza ad una generica distanza \(3L-x\) dall'estremo destro, essendo \(3L\) la lunghezza della mensola in esame.

Ciò fatto, basterà calcolare il momento flettente nel tratto a sinistra e nel tratto a destra di tale forza, quindi integrare applicando il principio dei lavori virtuali, ad esempio seguendo la strategia che hai applicato sopra.

Quello che otterremo è un abbassamento \(v(x)\) con \(0 \le x \le 3L\), che trattandosi di una funzione continua in un insieme chiuso e limitato il teorema di Weierstrass ci garantisce ammettere minimo e massimo assoluti, determinabili come appreso nel corso di analisi matematica uno. Il massimo è ciò che è richiesto dal testo.

[giuliob94]

Mi sono guardato la teoria della linea elastica e ho svolto così:




è corretto?

[giuliob94]

Se non l'avete vista, poco male, ci facciamo bastare il principio dei lavori virtuali, ci metteremo qualche minuto in più rispetto all'integrazione della linea elastica ma arriveremo allo stesso e identico risultato.

Nella fattispecie, ora dell'iperstatica possiamo tranquillamente dimenticarci, dato che i conti di cui sopra permettono di considerare un'isostatica associata del tutto equivalente, ossia una mensola incastrata all'estremo sinistro, con un carico distribuito verticalmente, in giù, di intensità \(q\) e una forza applicata all'estremo destro libero: verticale, in su e di intensità \(81qL/74\).

Pertanto, non sapendo a priori in che punto calcolare l'abbassamento della mensola, applichiamo una forza fittizia verticale, rivolta verso il basso ad una generica distanza \(x\) dall'estremo sinistro e di conseguenza ad una generica distanza \(3L-x\) dall'estremo destro, essendo \(3L\) la lunghezza della mensola in esame.

Ciò fatto, basterà calcolare il momento flettente nel tratto a sinistra e nel tratto a destra di tale forza, quindi integrare applicando il principio dei lavori virtuali, ad esempio seguendo la strategia che hai applicato sopra.

Quello che otterremo è un abbassamento \(v(x)\) con \(0 \le x \le 3L\), che trattandosi di una funzione continua in un insieme chiuso e limitato il teorema di Weierstrass ci garantisce ammettere minimo e massimo assoluti, determinabili come appreso nel corso di analisi matematica uno. Il massimo è ciò che è richiesto dal testo.

per quanto riguarda questo metodo agisco così?
considerando M(0) quello del sistema reale ottenuto nel finale del passaggio precedente giusto?

[sellacollesella]

Mi sono guardato la teoria della linea elastica e ho svolto così [...]

Le reazioni vincolari sono corrette, il momento flettente è corretto, la linea elastica \(y(x) = \dots\) è corretta, perlomeno fino al punto in cui ci sono in ballo le costanti integrative \(c_1\) e \(c_2\). Poi, come hai giustamente recepito, per determinare tali costanti è necessario imporre le cosiddette condizioni al contorno e queste dipendono dai vincoli in gioco. Nello specifico, per \(x=3L\) non conosciamo né l'abbassamento, né la rotazione di tale sezione di trave, quindi non possiamo imporre nulla a priori. D'altro canto, per \(x=0\) siamo in grado di sapere a priori sia spostamento, sia rotazione di tale sezione, in quanto per definizione di incastro saranno entrambe nulle. Pertanto, occorre risolvere il sistema di equazioni lineari \(y(0)=0\) e \(y'(0)=0\), che in questo caso fortunato porta banalmente a \(c_1=0\) e \(c_2=0\). In conclusione, la linea elastica risulta essere: \[
y(x) = \frac{q}{24EJ}x^4 - \frac{47qL}{148EJ}x^3 + \frac{45qL^2}{74EJ}x^2,
\quad \quad \text{con} \; 0 \le x \le 3L
\] e dato che \(J = AL^2/2\) la possiamo scrivere come: \[
y(x) = \frac{q}{12EAL^2}x^4 - \frac{47q}{74EAL}x^3 + \frac{45q}{37EA}x^2,
\quad \quad \text{con} \; 0 \le x \le 3L.
\] Non rimane che trovare il massimo assoluto di tale funzione, esercizio di analisi matematica uno.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Qualora potesse interessarti, in termini un po' più generali, si ha:

\(\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\)
\[
\varphi(x) = -y'(x),
\quad \quad
M(x) = -EJ\,y''(x),
\quad \quad
T(x) = -EJ\,y'''(x),
\quad \quad
q(x) = EJ\,y''''(x)
\] e questa formulazione ha il vantaggio di essere applicata istantaneamente, senza dover preoccuparsi di risolvere preliminarmente una eventuale struttura iperstatica (purché la struttura assegnata non sia labile).

Pertanto, tornando alla struttura originaria, è sufficiente risolvere il seguente problema differenziale: \[
\begin{cases}
y''''(x) = \frac{q}{EJ} \\
y(0) = 0 \\
\varphi(0) = 0 \\
M(3L) = 0 \\
T(3L) = -k\,y(3L) \\
\end{cases}
\quad \quad \Rightarrow \quad \quad
\begin{cases}
y''''(x) = \frac{q}{EJ} \\
y(0) = 0 \\
-y'(0) = 0 \\
-EJy''(3L) = 0 \\
-EJy'''(3L) = -k\,y(3L) \\
\end{cases}
\] dove \(J = AL^2/2\) è imposto e \(k = 2EA/L\) è la rigidezza assiale della biella intesa come una molla ideale. Qui il prezzo da pagare sono i conti che sono un po' più corposi; d'altronde, prima o poi tocca cuccarseli.

Se, invece, si ha a disposizione un software come Mathematica, allora scrivendo:

Codice:

φ[x_] = -y'[x];
M[x_] = -e j y''[x];
T[x_] = -e j y'''[x];

j = a l^2/2;
k = 2 e a/l;

DSolve[{

   y''''[x] == q/(e j),
   y[0] == 0,
   φ[0] == 0,
   M[3 l] == 0,
   T[3 l] == -k y[3 l]

   }, y[x], x] // Expand


si ottiene istantaneamente la linea elastica desiderata senza alcuna fatica:

Codice:

{{y[x] -> (45 q x^2)/(37 a e) - (47 q x^3)/(74 a e l) + (q x^4)/(12 a e l^2)}}

Inoltre, possiamo anche ottenere immediatamente il massimo richiesto:

Codice:

FullSimplify[Maximize[{y[x], 0 <= x <= 3 l}, x], {e > 0, a > 0, l > 0, q > 0}]

da cui:

Codice:

{(81 (1788231 + 33229 Sqrt[2121]) l^2 q)/(239892608 a e), {x -> (360 l)/(141 + Sqrt[2121])}}

che, facendo abbastanza schifo, è meglio approssimarlo numericamente:

Codice:

{(1.12052 l^2 q)/(a e), {x -> 1.92457 l}}

per quanto riguarda questo metodo agisco così? [...]

L'importante è considerare l'isostatica associata, ossia quella con l'estremo destro libero con applicata la forza \(81qL/74\), che comporta avere alcuna forza in quel punto nel sistema che chiami "1". Per il resto dovresti sviluppare i conti e vedere se ti esce lo stesso risultato ottenuto con la linea elastica, dato che è un modo di procedere che ho dimenticato il giorno stesso in cui me lo hanno esposto a lezione, troppo macchinoso!

[giuliob94]

ahhhh certo la forza nell'estremo di destra a quel punto la devo considerare come forza esterna e quindi non presente nel sistema virtuale.
ti ringrazio molto per le delucidazioni e l'aiuto.