[Scienza delle Costruzioni] Feedback verifiche di resistenza travature

[fede_1_1]

$ T_{AB}(2L)=4qL $$ CD $Salve, ho svolto un esercizio sulle verifiche di resistenza di travature. Riporto il testo qua di seguito



Scegliendo arbitrariamente il verso dei vettori $V_A$,$V_D$,$V_C$ verso l'alto e $H_C$,$H_D$ verso destra. Ho da subito calcolato le reazioni vincolari ottenendo: $H_C=0$, $H_D=-2qL$, $V_D=2qL$, $V_A=4qL$, $V_C=2qL$. Procedo al calcolo delle caratteristiche della sollecitazione:


\[

\begin{cases}

N_{AB}=0 \\ T_{AB}=4qL \\ M_{AB}=4qLs

\end{cases}

\begin{cases}

N_{CB}=-2qL \\ T_{CB}=0 \\ M_{CB}=0

\end{cases}

\begin{cases}

N_{DB}=-2\sqrt{2} qL \\ T_{DB}=0 \\ M_{DB}=0

\end{cases}
\]

Individuo le sezioni critiche.

I) Per la trave $AB$ si ha che la sezione in $B$ (a sinistra della cerniera interna) è critica. E su di essa agisce $T_{AB}(2L)=4qL$, $M_{AB}(2L)=8qL^2$.
II) Per la trave $DB$ si ha che ogni sezione è ugualmente è critica. E su di esse agisce solo $N_{DB}=-2\sqrt{2}qL$.
III) Per la trave $CB$ si ha che ogni sezione è ugualmente critica. E su di esse agisce solo $N_{CB}=-2qL$.

Vediamo se il caso I) regge:

Calcoliamo $J_{11}$ della sezione a $T$.
\[
J_{11}=(1/12)(5\cdot (300-5-5)^3+(1/12)(5^3 \cdot 100) + 5\cdot 100(145+5/2)^2\cdot 2=31919375 mm^4
\]
Quindi si ha $\sigma_z(x_2)=\frac{8qL^2}{J_11}x_2$. Con la formula di Jourawsky trovo che lo sforzo tangenziale $\tau_{zy}$ dipende da $y$ (con $y=0$ posto all'interfaccia tra la parte in alto orizzontale della T e quella verticale):
\[
\tau_{zy}(y)=4.15+0.0408y-1.4 \cdot 10^{-4}y^2
\]
Considero i punti della sezione $O=(0,0)$ e $A=(0,145)$ e calcolo le sollecitazioni. In $(0,0)$ si ha che $y=145$ per la formula di Jourawsky. Ottengo $\sigma_z(O)=0$ e $\tau_{zy}(O)=10.0457$, $\sigma_z(A)=0.0327$ e $\tau_{zy}(A)=4.208$. Tutto in $N/(mm^2)$. Calcolo la tensione idea con Tresca:
\[
\sigma_{id}=\sqrt{\sigma_z(O)^2+3\tau_{zy}(O)^2}=17.39 N/mm^2
\]
\[
\sigma_{id}=\sqrt{\sigma_z(A)^2+3\tau_{zy}(A)^2}=7.288
\]
E quindi la sezione in $B$ della trave $AB$ non regge.

Itero il procedimento pure per i casi II) e III). Può andare?

Grazie per aver letto fin qua!

[sellacollesella]

Sulle reazioni vincolari sono d'accordo, così come sulle caratteristiche delle sollecitazioni nelle aste BC e BD. Sulla trave AB, invece, non sono d'accordo, in quanto nei pressi di una cerniera in cui non vi è applicata alcuna coppia concentrata la vedo dura che vi sia momento flettente diverso da zero, o no? Insomma, esamina i rispettivi calcoli. Inoltre, quando scrivi che intendi "iterare" il procedimento per le aste BC e BD temo che tu stia dimenticando qualcosa di estremamente importante. Cosa?

[fede_1_1]

Sì nella fretta ho completamente rimosso il carico distribuito nel calcolo delle caratteristiche! Però rifacendo i conti mi verrebbe $M_{AB}-4qLs+4qs\cdot s/2=0$ ossia $M_{AB}=4qLs-2qs^2$

Poi, per le altre aste chiaramente cambia il momento di inerzia e pure i punti critici della sezione cambieranno (cambia la sezione proprio). Nello specifico caso perché lo sforzo $N/A$ è costante quindi in realtà non c'è nemmeno bisogno di cercare i punti critici della sezione

[sellacollesella]

Il momento flettente ora va bene, ma dovresti rivedere anche taglio e sforzo normale. Quindi, li diagrammi per bene e dai diagrammi, come fossero delle radiografie, individuerai la sezione che se la passa peggio e su quella poi passerai alla determinazione delle tensioni nei punti che a loro volta se la passano peggio. Ok?

Circa la questione sulle aste, è chiaro che sia sempre T=0 e M=0, mentre N può essere:

• N < 0: si parla di asta compressa, ossia di puntone;
  
  
• N = 0: si parla di asta scarica;
  
  
• N > 0: si parla di asta tesa, ossia di tirante.

Ovviamente se l'asta è scarica sarà sicuramente sempre verificata, mentre se è un tirante è sufficiente verificare che N/A non ecceda la tensione ammissibile a trazione (che dipende dal materiale dell'asta).

Se, invece, è un puntone (come nel caso in esame), ancora una volta bisognerà verificare che |N|/A non ecceda la tensione ammissibile a compressione (che dipende dal materiale dell'asta), ma ciò non basta, dato che solitamente la condizione più gravosa da verificare è quella ad instabilità elastica per carico di punta!

Tanto per rendere l'idea, una Fiat Panda ha un peso di circa \(10^4\,N\), mentre una classica barra di acciaio ha una tensione ammissibile circa pari a \(360\,\text{MPa}\). Pertanto, invertendo la formula di verifica a resistenza si ottiene un'area circa pari a \(28\,mm^2\) che comporta un diametro circa pari a \(6\,mm\). Quindi, stando a questi conti, potremmo mettere quell'auto in esposizione su un piedistallo retto da una barra di \(6\,mm\) di diametro! Avresti mai il coraggio di farlo?! Probabilmente no, perché inconsciamente sai già che si svergolerà e questo è appunto dovuto ad un fenomeno di instabilità a cui sono soggette le aste compresse.

D'altro canto, qualora il vostro docente non ve l'abbia spiegato, sperate solo di non dover mai progettarla.

[fede_1_1]

Il momento flettente ora va bene, ma dovresti rivedere anche taglio e sforzo normale. Quindi, li diagrammi per bene e dai diagrammi, come fossero delle radiografie, individuerai la sezione che se la passa peggio e su quella poi passerai alla determinazione delle tensioni nei punti che a loro volta se la passano peggio. Ok?

Chiaro, in pratica faccio quello che ho scritto ma con i numeri giusti!

Per la questione dell'instabilità, a lezione abbiamo fatto il carico critico Euleriano. E' la stessa roba? Devo quindi confrontare il valore di $N$ con il carico critico euleriano $P_{cr}=\frac{\pi^2 EJ}{l_0^2}$.

[sellacollesella]

Chiaro, in pratica faccio quello che ho scritto ma con i numeri giusti!

Esatto! Naturalmente, se la sezione più mal messa si palesa in modo chiaro analizza solamente quella, in caso contrario analizzane più di una, non è una cosa di cui vergognarsi come pensano alcuni studenti, è praticamente lo standard analizzarne più di una, perlomeno in casi più generali e con elevate difficoltà.

Per la questione dell'instabilità, a lezione abbiamo fatto il carico critico Euleriano.

Sì, è quella roba lì. In particolare, oltre alla verifica di resistenza: \[
\sigma_N := \frac{|N|}{A},
\quad \quad
\sigma_{\text{yd}} := \frac{\sigma_{\text{yk}}}{1.15},
\quad \quad
\sigma_N \le \sigma_{\text{yd}}
\] è necessario eseguire una verifica ad instabilità elastica per carico di punta: \[
\sigma_N \le \sigma_{\text{lim}}.
\] Nello specifico, calcolate le tensioni critiche secondo Eulero e secondo Johnson: \[
\rho_{\min} := \sqrt{\frac{J_{\min}}{A}},
\quad \quad
\lambda := \frac{L_{\text{eq}}}{\rho_{\min}},
\quad \quad
\sigma_E := \frac{\pi^2E}{\lambda^2},
\quad \quad
\sigma_J := \sigma_{\text{yd}} - \frac{\sigma_{\text{yd}}^2}{4\,\sigma_E}
\] se \(\sigma_E \le \sigma_{\text{yd}}/2\) allora \(\sigma_{\text{lim}}=\sigma_E\), altrimenti \(\sigma_{\text{lim}}=\sigma_J\); per ogni tipo d'acciaio \(E = 210\,000\,\text{MPa}\).

[fede_1_1]

Perfetto grazie millee! ^^ Per le sezioni malmesse analizzerei, della trave $AB$, la sezione $A$ con $s=0$ e pure quella che sta nel mezzo con $s=L$. :]

In questo caso nell'esercizio non veniva fornito il limite di tensione per avere instabilità...oppure può coincidere con $\sigma_{adm}$?

[sellacollesella]

Per le sezioni malmesse analizzerei, della trave $AB$, la sezione $A$ con $s=0$ e pure quella che sta nel mezzo con $s=L$.

Esatto, in una è massimo il taglio, nell'altra il momento flettente. Da lì dovresti farti anche un'idea concreta
di come muoverti in futuro in situazioni simili confrontando numericamente le tensioni che si ottengono.

In questo caso nell'esercizio non veniva fornito il limite di tensione per avere instabilità...oppure può coincidere con $ \sigma_{adm} $?

Ho modificato la risposta. Praticamente quello che il vostro prof. indica con \(\sigma_{\text{adm}}\) è \(\sigma_{\text{yd}}\),
ossia indica come tensione ammissibile la tensione di snervamento di progetto.

[fede_1_1]

Perfetto, grazie millee! :]]