[Scienza delle Costruzioni]

[Karim_the_dream]

Buongiorno a tutti, avrei bisogno di una mano per risolvere 2 esercizi che richiedono l'applicazione del metodo delle forze assieme alla composizione cinematica degli spostamenti (con la quale dovrei ricondurmi agli schemi notevoli)



Ciò che ho provato a fare io è, applicando il metodo delle forze, sostituire il vincolo incastro in A con una cerniera e un momento concentrato X1 in verso antiorario, inoltre ho sostituito il doppio doppio pendolo in D con un momento concentrato X2 in verso antiorario. Quello che volevo fare era ricondurmi a uno schema notevole dal quale avrei potuto prendere i risultati applicarli al mio caso con i dovuti accorgimenti.

Ho le seguenti equazioni di congruenza:

$ \phi_A^{eq} = 0 $
$ \phi_D^{eq} = 0 $

Dopodiché applicando il principio di sovrapposizione degli effetti:

$ \phi_A^{eq} = phi_A^{0} + X1phi_A^1 + X2phi_A^2 $
$ \phi_D^{eq} = phi_D^{0} + X1phi_D^1 + X2phi_D^2 $

Ora per lo schema 0 applico nuovamente la sovrapposizione degli effetti e ho:

$ phi_A^0 = phi_A^{0,q} + phi_A^{0,\DeltaT} + phi_A^{0,kphi} + phi_A^{0,\delta} $
$ phi_D^0 = phi_D^{0,q} + phi_D^{0,\DeltaT} + phi_D^{0,kphi} + phi_D^{0,\delta} $

Ora ciò che sono solito fare è analizzare ogni singolo contributo e per esempio concentrandomi solo sul contributo dato dal carico q cioè $ phi_A^{0,q} $ e $ phi_D^{0,q} $ applico la composizione cinematica e vado a cercare l'effetto del carico sulla rotazione di A e di D considerando un tratto deformabile e gli altri rigidi. I dubbi iniziano qua perché so di dovermi ricondurre per forza a uno schema notevole però ad esempio con la rotazione in A considerando solo il tratto AB deformabile e gli altri rigidi che caso avrei?
Risiede qua la difficoltà mia su questi esercizi non riesco mai a ricondurmi allo schema notevole di cui ho bisogno e non so come fare se magari devono fare qualche considerazione o ci sta un approccio...

Anche perché io ho una cerniera in A e avrei una forza e un momento di trasporto legati al carico applicato da B a C, ma sugli schemi notevoli non ho caso di una trave incernierata ma solo trave appoggio appoggio, trave a mensola e trave con doppio pendolo da un lato e carrello dall'altro.

Se qualcuno potesse aiutarmi gliene sarei molto grato.

[Karim_the_dream]

Nessuno riesce a darmi una mano?

[sellacollesella]

Data la seguente struttura 2-iperstatica:

\(\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\)

a me viene naturale considerare un'isostatica associata del tipo:

\(\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\)

Pertanto, il sistema di equazioni di congruenza risulta essere: \[
\begin{cases}
\varphi_{BA}-\varphi_{BC}=X_1/k\\
\varphi_{CB}-\varphi_{CDE}=0\\
\end{cases}
\] e, grazie al principio di sovrapposizione degli effetti, si ha: \[
\begin{aligned}
&\varphi_{BA}=-\frac{X_1(3L)}{EJ}\\
&\varphi_{BC}=+\frac{X_1(3L/2)}{3EJ}+\frac{X_2(3L/2)}{6EJ}-\frac{q(3L/2)^3}{24EJ}-\frac{\delta}{3L/2}\\
&\varphi_{CB}=-\frac{X_1(3L/2)}{6EJ}-\frac{X_2(3L/2)}{3EJ}+\frac{q(3L/2)^3}{24EJ}-\frac{\delta}{3L/2}\\
&\varphi_{CDE}=+\frac{X_2(7L/2)}{EJ}\\
\end{aligned}
\] dove è palese a quali schemi statici di base abbia fatto riferimento.

[Karim_the_dream]

Data la seguente struttura 2-iperstatica:

\(\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\)

a me viene naturale considerare un'isostatica associata del tipo:

\(\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\)

Pertanto, il sistema di equazioni di congruenza risulta essere: \[
\begin{cases}
\varphi_{BA}-\varphi_{BC}=X_1/k\\
\varphi_{CB}-\varphi_{CDE}=0\\
\end{cases}
\] e, grazie al principio di sovrapposizione degli effetti, si ha: \[
\begin{aligned}
&\varphi_{BA}=-\frac{X_1(3L)}{EJ}\\
&\varphi_{BC}=+\frac{X_1(3L/2)}{3EJ}+\frac{X_2(3L/2)}{6EJ}-\frac{q(3L/2)^3}{24EJ}-\frac{\delta}{3L/2}\\
&\varphi_{CB}=-\frac{X_1(3L/2)}{6EJ}-\frac{X_2(3L/2)}{3EJ}+\frac{q(3L/2)^3}{24EJ}-\frac{\delta}{3L/2}\\
&\varphi_{CDE}=+\frac{X_2(7L/2)}{EJ}\\
\end{aligned}
\] dove è palese a quali schemi statici di base abbia fatto riferimento.

Buonasera, allora, innanzitutto vorrei ringraziarti per aver risposto alla mia richiesta d'aiuto. Ora dalla tua risposta son sorte nuove perplessità e se potessi aiutarmi a capire te ne sarei veramente grato: tu hai reso la struttura iperstatica una struttura isostatica andando a togliere il vincolo sulla rotazione in B (che era cedevole elasticamente) rendendo di fatto l'incastro interno cedevole una cerniera interna, e poi l'incastro interno in C rendendolo una cerniera interna e fino a qui è tutto chiarissimo. Anche l'impostazione delle equazioni di congruenza è chiara.

Ora nell'applicazione della sovrapposizione degli effetti per ricavare le singole rotazioni però non riesco a capire a quali schemi fai riferimento o meglio non riesco a capire perché come riesci a far riferimento a certi schemi...Mi spiego meglio: io presumo che $ \varphi_[BA] $ tu lo abbia tirato fuori dallo schema della trave a mensola su cui viene applicato un momento antiorario, ma nel nostro caso non abbiamo una trave a mensola, ma una trave incastrata da una parte e incernierata in B quindi non capisco come fai a fare ricorso a quello schema. Potresti aiutarmi a capire cosa mi sfugge?

Inoltre vorrei chiederti per risparmiare tempo nella risoluzione di strutture iperstatiche qual è la miglior scelta da fare per evitare troppi calcoli e anzi ridurli al minimo (non so magari c'è qualche stratagemma che non conosco)

[sellacollesella]

Innanzitutto vorrei ringraziarti per aver risposto alla mia richiesta d'aiuto.

Prego!

Tu hai reso la struttura iperstatica una struttura isostatica andando a togliere il vincolo sulla rotazione in B (che era cedevole elasticamente) rendendo di fatto l'incastro interno cedevole una cerniera interna, e poi l'incastro interno in C rendendolo una cerniera interna e fino a qui è tutto chiarissimo.

Perfetto.

Anche l'impostazione delle equazioni di congruenza è chiara.

Ottimo.

Ora nell'applicazione della sovrapposizione degli effetti per ricavare le singole rotazioni però non riesco a capire a quali schemi fai riferimento o meglio non riesco a capire come riesci a far riferimento a certi schemi...

È naturale che nasca questa domanda, sono contento che tu lo chieda.

Mi spiego meglio: io presumo che $\varphi_[BA]$ tu lo abbia tirato fuori dallo schema della trave a mensola su cui viene applicato un momento antiorario.

Esatto.

Ma nel nostro caso non abbiamo una trave a mensola, ma una trave incastrata da una parte e incernierata in B quindi non capisco come fai a fare ricorso a quello schema. Potresti aiutarmi a capire cosa mi sfugge?

Tale schema è applicabile ogni qual volta un estremo sia incastrato e un estremo sia libero di traslare e ruotare. Nel caso specifico in \(A\) vi è un incastro e in \(B\) essendovi una cerniera è ovviamente permessa la rotazione. Rimane un'ultima questione da sbrogliare: in \(B\) è permessa la traslazione in direzione normale
alla trave \(AB\)? La risposta è affermativa, dato che il resto della struttura può traslare tranquillamente in direzione orizzontale per via dei particolari vincoli esterni. Pertanto, \(AB\) lavora come una mensola.

Inoltre vorrei chiederti per risparmiare tempo nella risoluzione di strutture iperstatiche qual è la miglior scelta da fare per evitare troppi calcoli.

Seppur abbia risolto molte strutture iso, iper, 2d, 3d, in statica, in dinamica ... non conosco alcuna ricetta valida in generale. O meglio, potrei dirti che ogni volta in cui sei certo di individuare degli schemi notevoli di applicare le rispettive formulazioni preconfezionate come mostrato sopra, dato che così facendo sfrutti dei risultati già ottenuti per via integrale; viva il riciclo! In caso contrario, quegli integrali te li devi cuccare tutti applicando il sempreverde PLV o un qualsiasi teorema ad esso riconducibile, come il teorema di Castigliano.

[Karim_the_dream]

Buongiorno, ti ringrazio nuovamente, e scusa la mia ignoranza, ma continuo a non capire: sono d'accordo sul fatto che B possa ruotare, ma in B è presente una cerniera dunque i movimenti in orizzontale e in verticale non dovrebbero essere bloccati?

Non capisco ancora come sia possibile che trasli in direzione normale ad AB, potresti aiutarmi a capire, sento che questo è veramente l'ultimo step che mi manca per comprendere questo metodo della composizione cinematica (ho cercato dappertutto e purtroppo non ho trovato nulla in grado di colmare i miei dubbi)

[sellacollesella]

Buongiorno a te. A differenza di una cerniera esterna in cui ad essere nulli sono gli spostamenti assoluti, in una cerniera interna ad essere nulli sono gli spostamenti relativi, mentre quelli assoluti dipendono dal resto della struttura. In particolare, \(B\) non può traslare verticalmente perché, al solito, si ipotizza che \(EA \to \infty\) e quindi \(AB\) non può allungarsi, mentre orizzontalmente \(B\) può tranquillamente traslare perché non vi è alcuna sorta di vincolo che blocchi tale spostamento, in quanto il carrello non si oppone così come il quadripendolo.

È proprio per via di questa difficoltà intrinseca che la cosiddetta composizione cinematica sia snobbata dal 99% degli ingegneri, dove l'1% è composto solo dai professori di Scienza delle Costruzioni che tentano in tutti i modi di divulgarlo, seppur pure loro, in casi complicati (ossia tutti quelli veri), utilizzino metodi più affidabili, ossia che non si basano sul colpo d'occhio, il quale aiuta solo in casi estremamente semplici!

Ad onor di cronaca, le equazioni di congruenza di cui sopra le ho scritte applicando il teorema di Castigliano, tramite il quale non si può sbagliare nemmeno se cadesse un meteorite sulla testa, solamente a posteriori le ho manipolate facendo finta di averle ricavate tramite schemi elementari, dato che non ho ricordi di averli mai applicati dopo aver superato il suddetto esame, in quanto al giorno d'oggi basta munirsi di un foglio di calcolo che calcoli gli integrali per ottenere qualsivoglia risultato che fino a cinquant'anni fa si ricavava da tabelle.

[Karim_the_dream]

Buongiorno a te. A differenza di una cerniera esterna in cui ad essere nulli sono gli spostamenti assoluti, in una cerniera interna ad essere nulli sono gli spostamenti relativi, mentre quelli assoluti dipendono dal resto della struttura. In particolare, \(B\) non può traslare verticalmente perché, al solito, si ipotizza che \(EA \to \infty\) e quindi \(AB\) non può allungarsi, mentre orizzontalmente \(B\) può tranquillamente traslare perché non vi è alcuna sorta di vincolo che blocchi tale spostamento, in quanto il carrello non si oppone così come il quadripendolo.

È proprio per via di questa difficoltà intrinseca che la cosiddetta composizione cinematica sia snobbata dal 99% degli ingegneri, dove l'1% è composto solo dai professori di Scienza delle Costruzioni che tentano in tutti i modi di divulgarlo, seppur pure loro, in casi complicati (ossia tutti quelli veri), utilizzino metodi più affidabili, ossia che non si basano sul colpo d'occhio, il quale aiuta solo in casi estremamente semplici!

Ad onor di cronaca, le equazioni di congruenza di cui sopra le ho scritte applicando il teorema di Castigliano, tramite il quale non si può sbagliare nemmeno se cadesse un meteorite sulla testa, solamente a posteriori le ho manipolate facendo finta di averle ricavate tramite schemi elementari, dato che non ho ricordi di averli mai applicati dopo aver superato il suddetto esame, in quanto al giorno d'oggi basta munirsi di un foglio di calcolo che calcoli gli integrali per ottenere qualsivoglia risultato che fino a cinquant'anni fa si ricavava da tabelle.

Grazie mille! Ne sto capendo più in questa discussione con te che in varie lezioni in aula...Purtroppo questo metodo è stato presentato dal professore a mio avviso in modo molto superficiale, inoltre su Internet su questo metodo veramente si trova poco e niente e ciò che si trova più che levarti un dubbio te ne aggiunge altri 10. Purtroppo nel nostro corso non è stato nemmeno affrontato il Teorema di Castigliano e questo esame dovrebbe essere una parte di un esame più generale (Scienza delle Costruzioni) che vale 6 miseri CFU, ma per il quale lo sforzo dentro e fuori dalla classe e i concetti affrontati a mio parere sono rapportati malissimo (stendo un velo pietoso sul sistema universitario, almeno nella mia facoltà)...


Ora ho capito perfettamente perché si può utilizzare lo schema della trave a mensola in AB però (come sempre) mi son sorti nuovi dubbi: la parte BC della struttura è riconducibile a una trave appoggio-appoggio, e io ero abituato a considerare la cerniera interna come esterna, in questo caso nel caso di BC può essere effettivamente la cerniera interna in B considerata esterna dato che è attaccata a un corpo incastrato e dunque fermo?

[sellacollesella]

Convengo con te, purtroppo spesso e volentieri i CFU previsti da catalogo non corrispondono a quelli pretesi dal docente di turno che li interpreta a modo suo, creando non pochi disagi agli studenti, che poi a catena si rifletteranno negli esami successivi ecc, ecc. Ad ogni modo stringi i denti e avanti tutta, si vede che ti stai impegnando molto, per cui i risultati arriveranno, non temere.

Circa il tratto BC, per via delle cerniere in B e C agli estremi è permessa la rotazione e per via del carrello in C sicuramente tale estremo non può traslare verticalmente. Invece, in B la questione non è così ovvia, bensì occorre tenere nuovamente conto che \(EA\to\infty\), quindi AB non può allungarsi, ossia B non può traslare verticalmente. Tutto ciò porta a concludere che BC lavora come una trave appoggio-appoggio, fine.

[Karim_the_dream]

Grazie ancora. Si mi sto impegnando parecchio ma i risultati purtroppo finora scarseggiano e mi dà troppo fastidio vedere che tutto il tempo e i soldi che spendo dietro allo studio di alcuni argomenti non mi permette comunque di capirli alla fine.

Vorrei poterti dire che ora è tutto chiaro, però purtroppo non riesco ancora a comprendere questo metodo, mi rimangono proprio dubbi su dubbi e non so davvero più che inventarmi, sto veramente perdendo la fiducia ormai, anche perché le ho veramente provate tutte per capirci qualcosa di più.

Non ho proprio chiaro in mente come approcciare il problema con questo metodo, non riesco a fissarmi in testa gli step da fare e le rare volte che riesco mi perdo nel passaggio per ricondurmi agli schemi notevoli.

Ad ogni modo non ti disturbo oltre, anzi ti ringrazio per avermi aiutato finora e per la tua pazienza. Ti auguro una buona serata.