[Teoria dei Segnali] espressione esatta di un prodotto do convoluzione

[Dreams79]

Buongiorno, ho un problema con un esercizio, dove mi chiede di scrivere l'espressione esatta di un prodotto di convoluzione e in seguito di calcolare se il segnale è di energia o di potenza. Il problema nasce sulla prima parte, ovvero sul calcolo dell'espressione esatta. Il prodotto di convoluzione in esame è il seguente






Se ho capito bene, si tratta di un prodotto tra il coseno e un impulso rettangolare che vale 1 quando t si trova tra -T/2 e T/2 ; vale 0 altrove.

Per il calcolo dell'espressione esatta devo risolvere questo integrale?

$ int_(-T/2 )^(+T/2 ) cos ((2pi t)/T) dt $

Il mio ragionamento è stato il seguente: visto che l'impulso rettangolare vale 1 solo in quel periodo, l'integrale lo vado a calcolare solo in quel periodo, cosi facendo però mi esce zero. Ora la mia domanda è proprio questa. Fatto bene? in questo caso il segnale poi non sarebbe ne di energia ne di potenza.
Chiedo lumi al riguardo. Grazie e buona domenica.

[Quinzio]

No...
L'integrale da svolgere e' questo. E' diverso da quello che hai impostato tu.

$${\displaystyle (f*g)(t):=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )\ \mathrm {d} \tau =\int _{-\infty }^{\infty }f(t-\tau )g(\tau )\ \mathrm {d} \tau }$$

[Dreams79]

mmm capito, è l'integrale da risolvere quindi sarebbe ? nel coseno al posto di T devo mettere (t- tau) e al posto di g(tau)? Scusami , lo so che non è nelle regole del sito, ma potresti scrivermi l'integrale in finale da risolvere ?

[Quinzio]

$\int_{\tau= -T/2}^{\tau= +T/2} \cos((2\pi)/T (t-\tau)) d\tau$

Cambio di variabile $v = t-\tau$

da cui $dv = -d\tau$ e cambiano gli estremi di integrazione:

$\tau= -T/2$
$t-\tau= t+T/2$
$v= t+T/2$

e l'estremo superiore diventa

$t-\tau=v= t-T/2$

L'integrale da risolvere diventa

$\int_{t+T/2}^{t-T/2} \cos((2\pi)/T v) dv$

[Dreams79]

Ah ecco...capito, nella testa avevo un pò troppa confusione. Ti ringrazio tantissimo e buona domenica.

[Quinzio]

Ah ecco...capito, nella testa avevo un pò troppa confusione. Ti ringrazio tantissimo e buona domenica.

Prego.