Si consideri la seguente configurazione di due sistemi:
dove
S1: $y(t) = \int_{t-T_1}^t x(\tau) d\tau$
S2: $y(t) = \int_{t-T_2}^{t+T_2} x(\tau) d\tau$
Determinare la memoria del sistema complessivo.
L'uscita del sistema complessivo è la somma: $y(t) = \int_{t-T_1}^t x(\tau) d\tau - \int_{t-T_2}^{t+T_2} x(\tau) d\tau$.
Dopodichè ho suddiviso la trattazione in due casi, $T_1 \geq T_2$ e $T_1 < T_2$.
Per $T_1 \geq T_2$ ho sostanzialmente
Dunque spezzando gli integrali per ogni intervallo ottengo:
$y(t) = \int_{t-T_1}^{t-T_2}x(\tau) d\tau + \int_{t-T_2}^{t}x(\tau) d\tau - \int_{t-T_2}^{t}x(\tau) d\tau - \int_{t}^{t+T_2}x(\tau) d\tau$
$= \int_{t-T_1}^{t-T_2}x(\tau) d\tau - \int_{t}^{t+T_2}x(\tau) d\tau$
A questo punto, è corretto affermare che la memoria del sistema è data dal primo integrale e che quindi è pari a $T_1-T_2$ sotto l'ipotesi $T_1 \geq T_2$?
Per $T_1 < T_2$ invece si ha
Dunque spezzando gli integrali per ogni intervallo ottengo:
$y(t) = \int_{t-T_1}^{t}x(\tau) d\tau - \int_{t-T_2}^{t-T_1}x(\tau) d\tau - \int_{t-T_1}^{t}x(\tau) d\tau - \int_{t}^{t+T_2}x(\tau) d\tau$
$= - \int_{t-T_2}^{t-T_1}x(\tau) d\tau - \int_{t}^{t+T_2}x(\tau) d\tau$
A questo punto, è corretto affermare che la memoria del sistema è data dal primo integrale e che quindi è pari a $T_2-T_1$ sotto l'ipotesi $T_1 < T_2$?
Il risultato dell'esercizio è che la memoria vale $T_1$ per $T_1 \geq T_2$ e vale $2T_2-T_1$ per $T_1 < T_2$.
Vorrei capire dove sbaglio nel mio ragionamento.
Grazie.
