[Elettrotecnica] Circuito dinamico e Laplace

[BizarreSummer]

Salve a tutti, sto incontrando dei problemi con il seguente esercizio di Elettrotecnica, da risolvere con la trasformata di Laplace:





Il primo passo è calcolare le condizioni iniziali per t < 0: considero il condensatore come circuito aperto e quindi $V_c(0)=5 V$, per via del generatore indipendente di tensione.

Ora calcolo la trasformata del generatore di corrente $a(t)=2sin(3t+30°) => A(s)=(s+3sqrt(3))/(s^2+9)$




A questo punto la mia idea era quella di usare il Teorema di Millman e poi fare una KVL per trovare la tensione richiesta, però anche facendo i passaggi algebrici con Wolfram mi ritrovo una soluzione sbagliata rispetto a quella del testo, quindi ho il timore di aver sbagliato qualcosa nel ricavare il circuito simbolico.

[RenzoDF]

xxxxxx

Errore mio

[BizarreSummer]

Grazie per la risposta, io avevo fatto questi conti per la trasformata:

$a(t)=2sin(3t+30°) = 2[sin(3t)cos(30°)+cos(3t)sin(30°)] = 2[sin(3t)sqrt(3)/2+cos(3t)1/2)] = sqrt(3)sin(3t)+cos(3t)$

Poi so che la trasformata di $sin(at)= a/(s^2+a^2)$ e $cos(at)=s/(s^2+a^2)$ e quindi mi verrebbe il risultato che ho scritto su.

Dove ho sbagliato?

[ingres]

Dove ho sbagliato?

Veramente ti direi che la tua trasformata è corretta e quindi, posto che ci sia un errore, non è lì.

Prova a postare il tuo risultato e quello del testo.

[BizarreSummer]

Ho trovato l'errore, mi ero dimenticato di trasformare il generatore indipendente di tensione che nel circuito simbolico diventa $5/s$, lascio la soluzione per i posteri.

Applicando Millman ottengo:

$V_m(s) = ((3sqrt(3) + s)/(9 + s^2)+(5)/(2s)+5/4)/(1+1/2+s/4) = ... = (90 + 45 s + 12 sqrt(3) s + 14 s^2 + 5 s^3)/(s (6 + s) (9 + s^2))$

Ora faccio una KVL per calcolare la $V(s)$ richiesta dell'esercizio come segue:

$V(s)= V_m(s) - 5/s = (-180 + 12 sqrt(3) s - 16 s^2)/(s(s+6)(s^2+9)$

Vi risparmio la scomposizione in fratti semplici perché i conti sono antipatici, comunque il risultato è corretto e torna con quello dell'eserciziario:

$v(t)=(2/15(21+2sqrt(3))e^(-6t)-10/3-8/15cos(3t+30°)+16/15sin(3t+30°))u(t) \text{ } \V$ dove $u(t)$ è la funzione gradino di Heaviside.