Messaggioda Lauke » 11/04/2009, 12:28

non ho capito, scusami perchè la molteplicità geometrica dell'autovalore è 1 e non 3?

Scusa se così non fosse molteplicità algebrica e geometrica non coincederebbero e la matrice non sarebbe diagonalizzabile, cosa che mi pare difficile considerando che la matrice è già diagonale di suo. O no? trascuro qualkosa a livello algebrico?
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Messaggioda elgiovo » 11/04/2009, 17:30

Scusa hai ragione, ho fatto confusione. La molteplicità geometrica di $1$ come autovalore di $I_3$ è $3$, infatti la dimensione del nucleo di $lambda I_3 - I_3=I_3-I_3=ul ul 0$ è palesamente $3$ (qualsiasi vettore in $RR^3$ moltiplicato per $ul ul 0$ dà $ul0$). Volevo puntare l'attenzione sul fatto seguente:
il polinomio caratteristico di $I_3$ è $(lambda-1)^3$, ma il polinomio minimo di $I_3$ è $lambda - 1$, infatti $I_3-I_3=ul ul 0$, quindi la molteplicità di $1$ come radice del polinomio minimo è $1$.
In generale, la matrice esponenziale contiene modi polinomiale - esponenziali del tipo $k^mu lambda ^k$, dove $mu$ varia tra $0$ e la molteplicità di $lambda$ come radice del polinomio minimo meno uno. Essendo la molteplicità pari a 1, l'unico modo in uscita sarà $k^0 lambda^k=1^k=1$. Del resto se $A=I_3$, come ho già fatto vedere, l'uscita è la condizione iniziale, dunque il sistema sarà sempre marginalmente stabile.
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Messaggioda Lauke » 11/04/2009, 17:39

Scusa non te la prendere, ma veramente ti capisco poco, parti dal presupposto che l'unico metodo che ho per maneggiare questi sistemi è la trasformata di laplace o zeta. Quindi faccio sforzi sovr'umani per capirti a dir la verità, però siccome le cose a me piace capirle sennò applicarle è del tutto inutile se puoi farmi la cortesia di spiegarmi mejo...io di teorema per stabilire la stabilità (in questo caso parliamo di marginale) conosco solo quello relativo alla diagonalizzabilità della matrice, di cui però non conosco la dimostrazione. A questo punto è ovvio che se voglio capirne qualkosa me la devo fare, o almeno guardare quindi se puoi farmi, o dirmi dove prendere, le relative dimostrazioni al caso TC e TD te ne sarei grato perchè per quanto ne so io dovrei avere un riscontro nei modi del sistema, e come ho mostrato prima a me vengono quei modi con i miei ragionamenti, ma che a quanto ho capito non sono corretti...Puoi mandarmi le dimostrazioni?
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Messaggioda elgiovo » 11/04/2009, 18:27

Il procedimento che conosco per individuare i modi in uscita (tramite approccio nel dominio $ccZ$) è il seguente:

- con due conti, si trova che $A^k=ccZ^(-1)[z(zI-A)^(-1)]$

- hai che $z(zI-A)^(-1)= z ("adj"(zI-A))/(det(zI-A))$

- il polinomio caratteristico di $A$ è $det(zI-A)=prod_(i=1)^r (z- lambda_i)^(n_i)$ dove $r$ è il numero di autovalori distinti e $n_i$ è la molteplicità algebrica di ciascuno.

- il polinomio minimo del sistema è il minimo comune multiplo dei polinomi a denominatore di $z(zI-A)^(-1)$, e può scriversi come $m(z)=prod_(i=1)^r (z-lambda_i)^(m_i)$. In generale $m_i<= n_i$, perchè possono esserci cancellazioni con i numeratori. Chiamo $m_i$ la molteplicità di $lambda_i$ come radice del polinomio caratteristico.

- il generico elemento della matrice $z(zI-A)^(-1)$ è dato da

$p(z)=(n(z))/(d(z))=(n(z))/(prod_(i=1)^q(z-lambda_i)^(m_i))$

dove $q<r$. Espandendo in frazioni parziali,

$p(z)=sum_(i=1)^q sum_(j=1)^(m_i) (A_(ij)z)/((z-lambda_i)^j)$,

dove $A_(ij)$ sono gli opportuni residui per lo sviluppo.

- antitrasformando,

$p(k)=sum_(i=1)^q sum_(j=1)^(m_i) A_(ij) ((k),(j-1)) lambda_i^(k-(j-1))$.

- ne deriva che gli elementi di $A^k$, contengono funzioni del tipo $k^(mu) lambda_i^(k) $, dove $mu in {0,1,ldots,m_i-1}$, che sono i modi naturali del sistema.
Se poi ci sono anche coppie coniugate di autovalori complessi $lambda_i=sigma e^(j omega)$ i modi sono $k^mu sigma^k cos(omega k)$ e $k^mu sigma^k sin(omega k)$

Nel tuo caso la molteplicità $m$ di $1$ come radice del polinomio minimo è $1$, quindi non ci sono modi misti polinomiale - esponenziale ma solo modi esponenziali (che poi, vista la natura dell'autovalore, sono costanti).

Spero ti sia più chiaro.
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Messaggioda elgiovo » 11/04/2009, 18:34

Una piccola aggiunta: il polinomio minimo di $A$ è anche quel polinomio di grado minimo $p(lambda)=sum_k c_k lambda^k$, divisore del polinomio caratteristico, tale che $p(A)=sum_k c_k A^k= ul ul 0$, dove con $ul ul 0$ indico la matrice nulla. Si dice che la matrice $A$ annulla il suo polinomio minimo. Per questo prima scrivevo che il polinomio minimo di $I_3$ è $p(lambda)=lambda-1$: si ha $p(I_3)=I_3-I_3=ul ul 0$. Nota come $p(lambda)$ sia divisore del polinomio caratteristico di $A$, $(lambda-1)^3$.
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Messaggioda Lauke » 11/04/2009, 21:32

ho avuto il riscontro della tua teoria...la soluzione del sistema che ho mandato stamattina è $x_1(k)=x_2(k)=x_3(k)=1(k)$ stabile marginalmente come doveva essere...in ogni caso forse sarà meglio che faccia qualke altro sistema tanto per avere ben chiaro il discorso.

Chiariscimi un'ultima cosa i MODI, non le soluzioni del sistema, che avevo trovato oggi alla fine erano corretti?

Supponiamo infatti di avere la seguente matrice $A' = [[1,0,0],[1,1,0],[1,1,1]]$. Questa matrice rispetto a quella di prima non è diagonalizzabile ma ha il medesimo polinomio caratteristico, quindi stesso polinomio minimo. I due sistemi, cioè quello di oggi e questo, hanno gli stessi modi?
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Messaggioda elgiovo » 11/04/2009, 21:46

No. L'unico modo del primo sistema è $1(k)$. I modi del secondo sono $1(k)$, $k$ e $k^2$ (infatti l'esponente $mu$ di $k$ varia tra $0$ e la molteplicità di $1$ nel polinomio minimo meno uno). L'uscita poi si ottiene come combinazione lineare di tali modi naturali, e dipende dalle condizioni iniziali.
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Messaggioda Lauke » 11/04/2009, 21:49

Ok grazie per il momento =) una buona pasqua per domani
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Messaggioda Lauke » 15/04/2009, 11:41

Supponiamo di avere la seguente risposta impulsiva $y(t) = (2e^t+sin(frac{\pi*t}{3}))*1(t-1))$. Mi si chiede di individuare la funzione di trasferimento associata a questa risposta.
Sappiamo che, nel caso di risposte impulsive...$Y(s) = G(s)$ per trasformare secondo Laplace allora sfrutto la sovrapposizione degli effetti e scrivo $y(t) = y_1(t)+y_2(t)$ con $y_1(t) = 2e^t*1(t-1) = 2*e*e^(t-1)*1(t-1) -> Y_1(s) = frac{2*e^(1-s)}{s-1}$ diciamo ho aggirato in questo modo un ostacolo che sembrava una fesseria, ma in realtà non lo era...Consideriamo ora $y_2(t) = sin(frac{\pi*t}{3})*1(t-1)$ in questo caso fare un giochetto come quello dell'esponenziale non mi riesce, in quanto l'ingresso sinusoidale parte da una "posizione un pò scomoda" che non mi permette di fare giochetti tipo quello dell'esponenziale...e quindi come mi comporto? potrei scrivere magari la sinusoide con le formule di eulero e procedere come per l'altro esponenziale...ma sinceramente mi pare un procedimento un pò astruso...in conclusione come mi comporto per la $y_2(t)$?
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Messaggioda elgiovo » 15/04/2009, 13:00

Effettivamente la partenza è un pò scomoda...
Io farei partire il segnale dall'origine, così:
$y_2 '(t)=sin((pi (t+1))/3)*1(t+1-1)=sin((pi t)/3 + pi/3)$

($1(t)$ diventa ininfluente, la $ccL$-trasformata unilatera ignora ciò che accade prima dell'origine). Ora è facile, infatti è noto che

$ccL[sin(omega t + varphi)]=(omega * cos( varphi )+ s * sin( varphi))/(s^2+omega^2)$

e che $ccL[y_2(t)]=ccL[y_2'(t)]*e^(-s)$.
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