3 esercizi sui sistemi dinamici

[Trombino]

Ciao a tutti. Ho un esame alle porte e mi sono bloccato su 3 esercizi. Vi posto il testo sperando che qualcuno possa dirmi come risolverli, anche solamente indicandomi una traccia.
Un grazie in anticipo.
I 3 esercizi si trovano in questo pdf:

http://queenanya.altervista.org/es1.pdf


Ps: Se il link non va copiatelo nella barra degli indirizzi

[g.schgor]

Ho provato ad affrontare il primo esercizio.
Premetto che non sono esperto in materia, quindi
cerco di interpretare l'enunciato (un po' troppo
specialistico: non capisco ad es. cosa significa
"la crescita asintotica". Io l'ho intrepretata
come valor medio di crescita.)
Cmq, ecco quello che ho ottenuto con l'uso di Mathcad.

Ho stabilito una sitazione iniziale qualsiasi (in mancanza di
dati in proposito) considerando poi un periodo (t) di 10 anni
e ho ricavato il coefficiente di fertilita' (a) in modo da far
tornare una crescita del 20%/anno, come richiesto
Per maggior chiarezza, riporto ache grafico e tabella della
popolazione nei 10 anni.

Pensi che sia una soluzione accettabile?
Attendo tue osservazioni.


G.Schgör

[Trombino]

Grazie mille per la risposta...
Anch'io in effetti non sapevo come interpretare "crescita asintotica" : all'inizio avevo pensato che c'entrasse qualcosa la stabilità asintotica e quindi , affinchè la crescita fosse asintotica , che tutte le soluzioni del sistema M dovessero essere limitate (in parole povere avevo pensato che il sistema dovesse essere stabile e quindi che gli autovalori di M avessero dovuto avere modulo < 1 o modulo = 1 se la molteplicità algebrica = molteplicità geometrica).
Tuttavia credo proprio che considerare il valor medio di crescita sia la cosa più utile da fare , perciò credo che il tuo metodo sia giusto alla fine , e dal grafico sembra proprio che le soluzioni siano accettabili...

Bè che dire : grazie ancora ...

[g.schgor]

Ho provato a risolvere anche il terzo esercizio.
Devo dire che anche qui non mi e’ del tutto chiaro
quello che si vuole ottenere.
Soprattutto trovo strano che non si fissino le condizioni
iniziali e che non venga definita la funzione u(t).
Ho applicato il metodo di Runge-Kutta con Mathcad,
ottenendo l’andamento sottoriportato dopo aver fissato
k = 0.5 e u(t)=1 (gradino, altrimenti con condizioni iniziali
tutte a 0 il sistema non si muove).

Credo sia chiaro che y e’ la posizione nel tempo, y1 la sua
derivata prima ed y2 la derivata seconda (vedi grafico).
Con tale impostazione, si puo’ vedere sia l’andamento di y,
piu’ o meno smorzato, al variare di k , sia il punto di equilibrio
che si raggiunge (dato dalla soluzione dell’eq. y^3+ky+1=0).

Anche in questo caso gradirei conoscere i tuoi commenti.


G.Schgör