Esercizio Processo Stocastico

[Cilibrizzi]

Salve, oggi ho provato a fare un'esercizio sui processi stocastici, il testo dice:
dato il seguente processo stocastico:

$x(k,t) = \sum_{k=- infty}^infty A_k*rect((t - 3T - delta)/(3T))$

dove $\delta$ è una variabile aleatoria uniformemente distribuita nell'intervallo $I=[0,3T]$ mentre $A_k$ una variabile aleatoria discreta avente densità di probabiltà

$f_\delta(x)={(p,se x=-1),(p-p^2,se x=-3),(1-2p+p^2,se x=1):}$

con $p in [0,1]$ e le variabili aleatorie $A_k$e$\delta$ indipendenti


Il testo chiede di determinare la densità spettrale di potenza media $S_x(f)$ ed il valore di $p$ che la minimizza.

Il problema che mi sono trovato davanti è subito alla partenza perché dovendo stabilire se il processo è stazionario oppure no devo calcolare la media e l'auto correlazione ma mi trovo davanti il calcolo di due integrali e non so' da che parte iniziare, nel libro non si trova nulla, comunque per quanto utile posto l'impostazione che ho dato per il calcolo della media:

$mu_x=E[A_k]*E[rect((t - 3T - delta)/(3T))]$ naturalmente il problema è il calcolo del valore atteso del secondo fattore.
mentre l'auto correlazione non sono riuscito neanche ad impostare i calcoli.

grazie a tutti per l'aiuto.

[Ska]

domanda forse stupida, ma mi lascia perplesso la formula del processo che hai dato... è corretto il fatto che l'indice della sommatoria $k$ non sia presente come argomento del $rect$ e sia una variabile del processo?!

Mi sarei aspettato tipo un PAM, più che altro.... già solamente calcolando la media d'insieme del processo... questa diverge... perchè mi ritrovo a calcolare $\sum_{k=-\infty}^\infty 1$

se la sommatoria non ci fosse allora la cosa è relativamente semplice, infatti come hai scritto tu

$\mu_x(t) = E[A_k] E[rect((t-3T-\delta)/(3T))] = \mu_A \int_RR f_{\delta}(x) rect((t-3T-x)/(3T))dx = \mu_A 1/(3T) \int_RR rect(x/(3T)) rect((t-3T-x)/(3T)) dx = \mu_A / (3T) (rect_3T \star rect_3T)(t-3T) = \mu_A tri((t-3T)/(3T))$

dunque dipendendo da $t$ la media di insieme, il processo non è stazionario rispetto alla media.


se invece il processo fosse del tipo $X(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} A_k rect((t-kT -\delta)/(3T))$, allora la media di insieme si calcola come

$\mu_X(t) = E[X(t)] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} E[A_k] E[rect((t-kT -\delta)/(3T))] = \mu_A E[\sum_{k=-\infty}^{\infty} rect((t-kT -\delta)/(3T))] = \mu_A * E[1] = \mu_A$

che risulta essere stazionario.

[Cilibrizzi]

scusami ho sbagliato a scrivere l'espressione del processo quella giusta è la seguente

$x(k,t) = \sum_{k=- infty}^infty A_k*rect((t - 3kT - delta)/(3T))$

poi mi scuso anche per la notazione non proprio felice, però la k di $x(k,t)$ non c'entra nulla con l'indice della serie, ma rappresenta l'esperimento, ovvero il così detto $\omega in Omega$ dove $\Omega$ è lo spazio degli eventi legati alla variabile aleatoria x.
Spero di essere stato chiaro per quanto riguarda le notazioni.

Scusa la mia stupidità, ma come mai viene:
$E[\sum_{k=- infty}^infty rect((t - 3kT - delta)/(3T))]=1$

grazie mille.

[Ska]

è semplice.... se tu prendi infiniti $rect$, tutti larghi e alti uguali, e traslati esattamente della loro larghezza, il segnale che ottieni è la costante 1, quindi ciò che ottieni è $E[1(t)] = 1$.


Per quanto riguarda l'autocorrelazione, non è difficilissimo, ti posto il conto in generale, lascio a te il compito di riadattarlo al tuo caso.

Considero $X(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} A_k g(t-kT-T_0)$, con $A_k$ v.c. discreta, e $T_0$ v.c. uniforme in $[0,T]$, ed infine $g(t)$ impulso base di energia con supporto contenuto in $[0,T]$ con $A_k$ e $T_0$ indipendenti tra loro.

$R_X(t,t+\tau) = E[X(t) X(t+\tau)] = E[(\sum_{k=-\infty}^{\infty} A_k g(t-kT-T_0)) (\sum_{h=-\infty}^{\infty} A_h g(t-kT-T_0))]$ effettuando il prodotto alla Cauchy tra le due serie e ponendo $h=k+m$ e sfruttando la linearità di $E[\cdot]$ si ha

$R_X(t,t+\tau) = \sum_{m=-\infty}^{\infty} \sum_{k=-\infty}^{\infty} E[A_k A_{k+m}] E[g(t-kT-T_0) g(t+\tau-kT -mT -T_0)]$

Chiamando $R_A(m)=E[A_k A_{k+m}]$ l'autocorrelazione degli $A_k$ si ottiene
$R_X(t,t+\tau) = \sum_{m=-\infty}^{\infty} R_A(m) \sum_{k=-\infty}^{\infty} 1/T \int_0^T g(t-kT-x) g(t+\tau-kT -mT -x) dx$ effettuando il cambio di variabile $y=t-kT-x$ si ottiene
$R_X(t,t+\tau) = 1/T\sum_{m=-\infty}^{\infty} R_A(m) \sum_{k=-\infty}^{\infty} \int_{t-(k+1)T}^{t-kT} g(y) g(y+\tau-mT)dy = 1/T\sum_{m=-\infty}^{\infty} R_A(m) \int_RR g(y) g(y+\tau-mT)dy = 1/T \sum_{m=-\infty}^{\infty} R_A(m) \phi_g(\tau-mT)$

indicando con $\phi_g(x)$ l'autocorrelazione di $g$ (supposto questo segnale reale)

Come puoi vedere anche questa non dipende da $t$, ma solo da $\tau$, e dunque il processo è anche stazionario rispetto all'autocorrelazione.

Dunque $S_X(f) = \mathcal{F}[R_X(\tau)] (f) = (|G(f)|^2)/T \sum_{m=-\infty}^{\infty} R_A(m) e^{-j 2\pi f mT}$

[Cilibrizzi]

grazie mille

[Ska]

una domanda ce l'ho io per te.... come fai a calcolare $R_A(m)$ in generale? Intendo non nel caso specifico, dato che non si ha la pdf congiunta, come si calcola l'autocorrelazione della variabile casuale? Io personalmente non mi sono mai imbattuto in questo calcolo e sinceramente non saprei come farlo... hai magari del materiale circa questo argomento?

[Cilibrizzi]

dipende, l'auto correlazione in generale senza la densità congiunta non si calcola. il mio professore però nel testo dice sempre che le due variabili aleatorie sono indipendenti, ed essendo sempre note le singole densità, la congiunta la ottengo come prodotto delle due densità.
Poi dato che il più delle volte le variabili aleatorie sono definite attraverso una trasformazione ovvero $Z=phi(X,Y)$ , dove la trasformazione deve essere una funzione continua, sfrutto il teorema del valor medio per il calcolo.

Nel caso non sia stato chiaro ti faccio un'esempio dato il processo $x(k,t)=A cos(2*pi*f_0*t + theta)$ dove $theta$ e una v.c uniforme nell'intervallo $I=[-pi,+pi]$ l'auto correlazione del processo la calcolo come

$H_x(t1,t2)=E[A cos(2*pi*f_0*t_1 + theta)*A cos(2*pi*f_0*t_2 + theta)]= (A^2/2)*E[cos(2*pi*f_0 (t_1 + t_2 ) + 2*theta) + cos(2*pi*f_0 (t_1-t_2 ))] $

adesso non ti rimane che fare la posizione $tau=t_1-t_2$ e calcolare $E[cos(2*pi*f_0 (t_1 + t_2 ) + 2*theta)]$ che risulta nullo quindi

$H_x(tau)=(A^2/2)*cos(2*pi*f_0 *tau)$

l'esempio che ti ho fatto è nel caso in cui il processo contenga una sola v.a. comunque si estende al caso di più variabili, tenendo a mente che dato $Z=phi(X,Y)$

$E[Z]=int_(RR) phi(X,Y)*f(x,y) dxdy $

dove naturalmente $f(x,y)$ è la densità congiunta.

Per quanto riguarda il materiale ho gli esercizi svolti del mio professore ma ce ne sono solamente 3 sui processi stocastici e veramente banali, comunque facendo una ricerca con google ne ho trovati molti provenienti da corsi di teoria dei segnali della varie facoltà di ingegneria italiane.

[Ska]

ah...ok, pensavo ci fosse un modo senza l'uso della congiunta, quindi anche nell'esercizio di prima gli $A_k$ erano indipendenti tra loro, e quindi la $R_A(m) = (\mu_A)^2 + (\sigma_A)^2$ se $m = 0$, $R_A(m) = (\mu_A)^2$ con $m \ne 0$, giusto?

[Cilibrizzi]

esatto