margini di guadagno e di fase

[michael89]

salve a tutti.se io ho una funzione di trasferimento con poli a parte reale positiva il diagramma di bode di tale funzione non mi rappresenta la risposta in frequenza.Su tale funzione posso applicare comunque i margini di fase e di guadagno oppure non hanno senso?
grazie

[elgiovo]

se io ho una funzione di trasferimento con poli a parte reale positiva il diagramma di bode di tale funzione non mi rappresenta la risposta in frequenza

Perché no?

[michael89]

perchè pensavo siccome il diagramma di bode di tale funzione non rappresenta la risposta in frequenza del sistema(il nostro professore ha detto che iper sistemi con $G(jw)$ instabile il diagramma di bode è solo un caso teorico,non è veramante la risposta in frequenza) probabilmente anche i margini su bode non hanno senso perchè vorrebbe dire applicare il margini a un diagramma che però non rappresenta la risposta in frequenza di un sistema.quindi i margini valogono oppure no?

[elgiovo]

il nostro professore ha detto che iper sistemi con $G(jw)$ instabile il diagramma di bode è solo un caso teorico,non è veramante la risposta in frequenza

Questo ipse dixit non mi piace.
Io, sinceramente, non trovo una giustificazione di questa affermazione. Se ce l'hai, sarò ben contento di imparare qualcosa di nuovo.

[michael89]

si hai ragione l'ipse dixit non va bene e infatti vorrei chiarire questo dubbio.Il fatto è che negli appunti ho scritto che i diagrammi di Bode sono una possibile rappresentazione della risposta in frequenza ma che più in generale possono rappresentare generiche funzioni $G(jw)$ anche instabili cioè funzioni per cui la risposta in frequenza non esiste e di questo ho anche un abbozzo di dimostrazione e mi è abbastanza chiaro.Il problema nasce quando voglio vedere la stabilità tramite i margini su Bode.Siccome per $G(jw)$ instabili il diagramma di Bode non mi rappresenta la risposta in frequenza non capisco se i margini appilcati a tale sistema hanno comunque senso?

[michael89]

la dimostrazione che ho negli appunti è la seguente:
si ipotizzi di valutare la risposta di un sistema lineare a un ingresso del tipo $u(t)=sin(wt)$ la cui trasformata di Laplace è$U(s)=w/(s^2+w^2)$.
quindi se io metto tale funzione sinusoidale in ingresso alla mia G(s) U(s)->[G(s)]->Y(s)
ottengo una uscita $Y(s)=G(s)*U(s)=(A1/(s-jw) +A2/(s+jw)$ +termini transitori legati ai poli diG(s))
ora ipotizzo di avere poli stabili nella mia G(s) cioè caratterizzati da esponenziali decrescenti nel tempo e quindi se considero la mia risposta a regime i termini legati ai poli della G(s) tendono a zero.Considerando solo i primi due termini della Y(s) antitrasformando e facendo alcuni passaggi l'uscita diventa $y(t)=|G(jw)|*sin(wt +fase(G(jw))$.In questo modo posso fare il grafico di modulo e di fase di $G(jw)$ che altro non sono che il diagramma di Bode.
se i poli fossero stati instabili a regime il loro transitorio non si estingueva essendo caratterizzati da esponenziali crescenti nel tempo e quindi mi sarebbe cambiata la mia y(t) a regime e di conseguenza anche il diagramma di Bode.

[elgiovo]

Mi hai convinto! Ho fatto un ripassino di controlli automatici e direi che si può riassumere tutto così:

il diagramma di Bode dà informazioni sulla risposta permanente del sistema, che in caso di ingresso sinusoidale è a sua volta sinusoidale. Questo è vero per tutti i tipi di sistemi, anche per quelli instabili. L'uscita infatti è riassunta nella forma:

\( \displaystyle y(t)=y_0(t)+K_1 e^{j \omega t}+K_2 e^{-j \omega t} \) .

Per sistemi stabili, \( \displaystyle \lim_{t \to \infty}y_0(t)=0 \) e il transitorio si può trascurare nella risposta in frequenza.
Per sistemi instabili l'uscita è data dalla sovrapposizione di una sinusoide e di un esponenziale divergente, che sovrasta la sinusoide. Quindi il diagramma di Bode, tenendo conto solo degli ultimi due addendi sopra, non rappresenta la reale risposta in frequenza del sistema.

Sulla base di ciò, direi che i margini dedotti dal diagramma di Bode nel caso di sistemi instabili non sono significativi.

[peppesmile]

io credo di avero capito dove è l'equivoco...il fatto è che i teorema della risposta armonica si fonda sull'ipotesi di asintotica stabilità, per cui in teoria,se un sistema non lo è tutto quello che fai non si potrebbe fare perchè il transitorio non è trascurabile, è vero anche però che il primo obiettivo del diagramma di Bode è quell odi studiare il sistema e di interpretare i risultati in modo da stabilizzarlo... per cui anche se la rappresentazione del diagramma non è precisa al cento per cento lo puoi fare lo stesso .