Esercizio segnali

[Ales121]

Ciao a tutti...qualcuno può aiutarmi con questo esercizio.
Si consideri il segnale a tempo continuo:

$u(t)=sum_{k=-oo}^oo \Lambda ((t-8k)/2) + sum_{k=-oo}^oo \Lambda ((t-8k-4)/2)$

1)Si dica se il segnale è periodico e in caso di risposta affermativa se ne calcoli il periodo T.
Per rispondere a questa domanda devo verificare che il segnale $u(t)$ soddisfi $u(t)=u(t+TK)$ ma come si effettua tale procedimento???

2)Si calcoli la trasformata di Fourier del segnale $u(t)$
Una volta trovato il segnale generatore $u_g(t)= \Lambda(t/2)$ come procedo??

grazie.

[K.Lomax]

Per il primo ti basta un semplice disegnino.
Per il secondo procedi utilizzando la trasformata di Fourier del segnale di base utilizzando anche le proprietà di traslazione e di scala della trasformata.

[Ales121]

Ok... Ma il disegno è la somma di due finestre triangolari la prima centrata in 8 e la seconda dove è centrata? Cosa indica il -4?

[K.Lomax]

Partiamo dalla replica per \( \displaystyle k=0 \) , avrai:

\( \displaystyle x(t)=\Lambda\left(\frac{t}{2}\right)+\Lambda\left(\frac{t-4}{2}\right) \)

ovvero un triangolo centrato in \( \displaystyle 0 \) e di base compresa nell'intervallo \( \displaystyle [-2,2] \) e lo stesso triangolo centrato in \( \displaystyle t=4 \) . Dunque, abbiamo due triangoli, uno di fianco all'altro, che non si sovrappongono.
Per \( \displaystyle k=1 \) hai:

\( \displaystyle x(t)=\Lambda\left(\frac{t-8}{2}\right)+\Lambda\left(\frac{t-12}{2}\right) \)

Dunque sono gli stessi triangoli, questa volta il primo centrato in \( \displaystyle t=8 \) e il secondo centrato in \( \displaystyle t=12 \) . Questi due non si sovrappongono con le precedenti repliche. Quindi il segnale è periodico e di periodo \( \displaystyle T=4 \) .