rect e delta di dirac

[gaiaslide]

nel libro vi è scritto quel passaggio
non riesco a capire proprio perchè

[Ska]

Questa cosa è possibile solo se in mezzo c'è una convoluzione con una delta di dirac, infatti \( \displaystyle x(t) * \delta(t-a) = x(t-a) \)

Intuitivamente \( \displaystyle x(t) * \delta(t-a) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)\delta(t-\tau -a)d\tau = \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)\delta((t-a)-\tau)d\tau = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t-a)\delta(t-\tau -a)d\tau = x(t-a)\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t-\tau -a)d\tau = x(t-a) \cdot 1 \)

Come vedi all'interno dell'integrale è applicata la proprietà campionatrice della delta.

In maniera più formale, \( \displaystyle \delta_a = \delta(x-a) \) è quella distribuzione definita come \( \displaystyle <\delta_a,v> = v(a)\quad\forall v \in \mathcal{D}(\Omega) \) , da cui \( \displaystyle \forall w \in C^{\infty} \) si ha che \( \displaystyle \forall v \in \mathcal{D}(\Omega)\quad = <\delta_a, wv> = (w\cdot v)(a) = \) da cui appunto si ricava \( \displaystyle w(x)\delta(x-a) = w(a)\delta(x-a) \) .

[gaiaslide]

ok ska
il libro è un pò sbiadito mi sa che di mezzo cè lo zampino di una convoluzione.
ma se così fosse , tramite $x(t)*\delta(t-a)=x(t-a)$
non dovrebbe venire
$Z(f)=rect(\frac{f}{T})\cdot [\frac{j}{2}\delta(f-\frac{T}{2})-\frac{j}{2}\delta(f+\frac{T}{2})]=-j/2rect(f/T-(T/2))+j/2rect(f/T+(T/2))$ ? invece che:
$Z(f)=rect(\frac{f}{T})\cdot [\frac{j}{2}\delta(f-\frac{T}{2})-\frac{j}{2}\delta(f+\frac{T}{2})]=-j/2rect(f/T-(1/2))+j/2rect(f/T+(1/2))$ ?

per quanto riguarda invece l'uscita $Y(f)=[-j/2rect(f/T-(1/2))+j/2rect(f/T+(1/2))]rect(f/T)$ ho notato dai grafici che la sua antitrasformata è composta da $[(sinpi\(T/2)t)/(pi t)]sen(pi\(t/2)t]$

[Ska]

Se fosse un prodotto di convoluzione allora \( \displaystyle rect(\frac{f}{T}) * \delta(f -\frac{T}{2}) = rect(\frac{f-\frac{T}{2}}{T}) = rect(\frac{f}{T} - \frac{1}{2}) \)

L'antitrasformata mi sembra corretta.

[gaiaslide]

perfetto!grazie ska per la chiarezza e la gentilezza.