permeabilità,permettivita e mezzi con perdite

[Feliciano]

Salve, un paio di domande. Sto studiando i campi elettromagnetici.
Per prima cosa volevo chiedere cosa significa che un mezzo è senza perdite? C'entra la non dispersività nel tempo?

Comunque principalmente volevo sapere:
faccio l'ipotesi di linearità, isomorfia, omogeneità, non dispersività nello spazio e forse qualche altra ipotesi e giungo al fatto che l'uscita può essere scritta come integrale di convoluzione dell'ingresso con una certa matrice detta matrice di green. Ad esempio posso considerare $d$ come uscita e $e$ come ingresso
A questo punto vado a trasformare secondo fourier e ottengo ad esempio $D(r,w)=\epsilon(r,w)E(r,w)$ dove r è un vettore che individua la coordinata spaziale.

In generale $\epsilon(r,w)$ è un numero complesso ma a quanto pare è scontato che se un mezzo è senza perdite $\epsilon(r,w)$ è una quantità reale.
Perché????????

[K.Lomax]

Non è affatto scontato, piuttosto dimostrabile. Provo a fare una specie di dimostrazione.
Supponiamo di avere un'onda piana:

\( \displaystyle \underline{E}=\underline{E}_0e^{-j\underline{k}\cdot\underline{r}} \)

E' evidente che se il vettore di propagazione è complesso, ovvero se \( \displaystyle \underline{k}=\underline{\beta}-j\underline{\alpha} \) , avrai un'onda che nel propagarsi si sfasa ( \( \displaystyle e^{-j\underline{\beta}\cdot\underline{r} \) ) e si attenua ( \( \displaystyle e^{-\underline{\alpha}\cdot\underline{r} \) ). Per la presenza di \( \displaystyle \alpha \) si dice che il mezzo ha perdite (senza il quale l'onda sarebbe solamente sfasata e non attenuata).
Ora, è noto che (per semplicità considero solo il modulo):

\( \displaystyle k=\frac{\omega}{c}=\omega\sqrt{\mu\epsilon} \)

Supponi il mezzo non magnetico ( \( \displaystyle \mu=\mu_0 \) ) e \( \displaystyle \epsilon=\epsilon_0\epsilon_r \) con \( \displaystyle \epsilon_r \) la permittività relativa del mezzo, allora:

\( \displaystyle k=\frac{\omega}{c_0}\sqrt{\epsilon_r} \)

E' chiaro quindi che se \( \displaystyle \epsilon_r \) è reale lo è anche \( \displaystyle k \) e quindi l'onda si propaga non attenuandosi. Viceversa se \( \displaystyle \epsilon_r=\epsilon'-j\epsilon'' \) si ha:

\( \displaystyle k=\frac{\omega}{c_0}\sqrt{\epsilon'-j\epsilon''}=\frac{\omega}{c_0}\sqrt{\epsilon'}\sqrt{1-j\frac{\epsilon''}{\epsilon'}} \)

Ancora, nell'ipotesi \( \displaystyle \epsilon'>>\epsilon'' \) (anche se alla fine non è una condizione necessaria alla "dimostrazione") e ricordando che \( \displaystyle \sqrt{1+x}\simeq 1+\frac{x}{2} \) per \( \displaystyle |x|<<1 \) , si ha:

\( \displaystyle k=\frac{\omega}{c_0}(\sqrt{\epsilon'}-j\frac{\epsilon''}{2\sqrt{\epsilon'}})=\frac{\omega}{c_0}\sqrt{\epsilon'}-j\frac{\omega}{c_0}\frac{\epsilon''}{2\sqrt{\epsilon'}}=\beta-j\alpha \)

Nota che \( \displaystyle \epsilon''=0\Rightarrow\alpha=0 \) . Noterai anche che per avere perdite potresti anche avere mezzi magnetici ( \( \displaystyle \mu \) complesso) come, ad esempio, la ferrite. Questo, però, è un altro discorso.

[Feliciano]

mi sembra proprio quello che stavo cercando!
grazie. Comunque in questi giorni mi riguardo meglio tutta la questione delle onde piane e se mi serve altro chiedo.