da gugo82 » 03/09/2010, 15:03
@Lorra: Non ho capito nulla... Ma tento lo stesso di risponderti.
La trasformata di Fourier distribuzionale è definitita nella classe delle distribuzioni temperate \( \displaystyle \mathcal{S}^\prime \) che è abbastanza grossa (contiene, ad esempio, tutti gli \( \displaystyle L^p \) ; in particolare \( \displaystyle L^\infty \) , classe che contiene le funzioni periodiche limitate tipo \( \displaystyle \sin x \) le quali, in generale, non sono globalmente \( \displaystyle L^1 \) ).
Tale classe è definita come il duale dello spazio di Schwartz \( \displaystyle \mathcal{S} \) , il quale contiene tutti gli elementi di \( \displaystyle C_0^\infty \) che tendono a zero rapidamente all'infinito*; visto che \( \displaystyle \mathcal{S} \supset C_c^\infty =\mathcal{D} \) per dualità è evidente che \( \displaystyle \mathcal{S}^\prime \subset \mathcal{D}^\prime \) , sicché lo spazio delle distribuzioni temperate \( \displaystyle \mathcal{S}^\prime \) è strettamente più piccolo di quello di tutte le distribuzioni \( \displaystyle \mathcal{D}^\prime \) .
Visto che ogni elemento di \( \displaystyle \mathcal{S} \) è in \( \displaystyle L^1 \) **, è evidente che si può calcolare la trasformata di Fourier classica di \( \displaystyle u \) , i.e. \( \displaystyle \mathfrak{F} [u] \) ; inoltre si riesce a provare che \( \displaystyle u\in \mathcal{S} \ \Rightarrow\ \mathfrak{F}[u] \in \mathcal{S} \) .
Allora si può applicare il trucco (che è classico della Teoria delle Distribuzioni, ed è la sua raison d'etre) di definire qualcosa per una distribuzione a partire dalla stesso oggetto definito sui test***: nel nostro caso, fissata \( \displaystyle F\in \mathcal{S}^\prime \) si chiama per definizione trasformata di Fourier distribuzionale di \( \displaystyle F \) la distribuzione \( \displaystyle \mathfrak{F}[F] \) che opera su \( \displaystyle \mathcal{S} \) come segue:
\( \displaystyle u\mapsto \langle F,\mathfrak{F}[u] \rangle \) ,
ove al secondo membro la t.d.F. è quella classica di \( \displaystyle u \) .
La precedente relazione si scrive più semplicemente:
\( \displaystyle \langle \mathfrak{F}[F] ,u\rangle =\langle F,\mathfrak{F}[u] \rangle \) per ogni \( \displaystyle u\in \mathcal{S} \) .
__________
* Qualitativamente \( \displaystyle u\in C_0^\infty \) è in \( \displaystyle \mathcal{S} \) solo se \( \displaystyle u \) e tutte le sue derivate vanno a zero per \( \displaystyle |x|\to +\infty \) più velocemente del reciproco di ogni polinomio.
** Infatti, per definizione, \( \displaystyle |u| \) va a zero in \( \displaystyle \infty \) più velocemente di \( \displaystyle \tfrac{1}{1+x^2} \) ergo esiste una costante \( \displaystyle C>0 \) tale che \( \displaystyle \lVert u\rVert_1=\int |u| \leq \int \tfrac{C}{1+x^2} <+\infty \)
*** Vedi, ad esempio, la definizione di derivata distribuzionale.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
