Diagramma polare (a partire da Bode)

[RosaCipria]

Salve a tutti! Spero che qualcuno possa aiutarmi a capire come si traccia un diagramma polare (ovvero, se non vado errando, il semidiagramma di Nyquist corrispondente alle omega positive). Ho davanti una funzione di trasferimento di cui ho rappresentato i diagrammi asintotici di Bode per modulo e fase. A questo punto dovrebbe essere semplice rappresentare qualitativamente l'andamento del diagramma polare, ma come? Leggendo anche gli altri topic ho trovato dei link in cui venivano enunciate regole di tracciamento molto dettagliate, ma io ricordo che il prof a lezione non effettuava nemmeno un calcolo e passava dal diagramma di bode a quello polare in un secondo, come se tutto fosse ovvio e scontato! Forse lo è.. Non so spiegarvi bene la mia difficoltà, ho qui una pila di esercizi "svolti" in cui ci sono tutti i diagrammi ma senza un minimo di spiegazione, lo stesso dicasi per il libro, insomma non so proprio dove poggiare la matita sul foglio, non so da dove partire, come continuare, come finire. E' da una settimana che cerco di dare un senso ai grafici che trovo nei miei appunti inventandomi regole che vengono poi smentite dal diagramma successivo... Qualsiasi consiglio su come risolvere questo problema sarà estremamente gradito, grazie!

[K.Lomax]

Posta qualche esercizio poco chiaro.

[RosaCipria]

Ho ad esempio questa funzione di trasferimento:

$ G(s) = frac{10-s}{s(1+s)(10+s)} $

Ho trovato i diagrammi di Bode
- modulo: presenta due tratti, parte con un'inclinazione di -20 dB per decade intercettando l'asse orizzontale in 1. Da $ w=1 $ (omega) continua a scendere con una pendenza di -40 dB per decade, così fino all'infinito.
- fase: la fase iniziale è di -90°. A partire da $ w=0,1 $ comincia a scendere di 45°, da $ w=1 $ continua a scendere di 135°, da $ w=10 $ scende di 90° e da $ w=100 $ in poi la fase è costante e pari a -360°.

Vado a tracciare gli assi per il diagramma polare, sulle ascisse riporto Re G(jw) e sulle ordinate Im G(jw). Leggo dai diagrammi di Bode come si comporta la funzione per $ wrarr0^+ $ e per $ wrarr+oo $ , dato che parte con una fase di -90° mi viene da immaginare un punto sul semiasse negativo delle ordinate, ma invece noto che il diagramma parte dal terzo quadrante (perchè?). Poi guardando sempre il diagramma della fase vedo che assume valori sempre più negativi fino ad arrivare a -360°, questo mi spiega perchè la curva passa ad occupare il secondo ed il primo quadrante. Vedo che termina nell'origine, e non in un punto qualsiasi del semiasse positivo delle ascisse, e penso che questo sia perchè il modulo della funzione tende ad un valore sempre piccolo quindi si avvicina sempre più all'origine degli assi. Non so se i miei ragionamenti sono giusti, in ogni caso se non avessi avuto già il diagramma corretto davanti non avrei veramente saputo come disegnarlo...

[K.Lomax]

I ragionamenti sono corretti. La fase di partenza è \( \displaystyle -90° \) ragion per cui deve partire dall'asse negativo delle ordinate, come giustamente dicevi, con una fase sempre decrescente. Questo implica che passa per il terzo, secondo e raggiunge il primo quadrante.

[RosaCipria]

Ma se parte con una fase di -90° perché il grafico parte da un punto all'interno del terzo quadrante e non da un punto dell'asse negativo delle ordinate? In ogni caso anche se ora mi è chiaro questo esercizio non riesco comunque a rappresentare altri diagrammi, non esistono regole di tracciamento generali? Leggo continuamente l'espressione "raccordi all'infinito", ma cosa sono?

[K.Lomax]

Il terzo quadrante comprende le fasi comprese nell'intervallo \( \displaystyle [-90°,-180°] \) , quindi è giusto che stia in quel quadrante. Per quel che riguarda le regole di tracciamento, dal momento che se n'è discusso tanto, ti consiglio di vedere post precedenti. Purtroppo non ho il tempo per poter postare una spiegazione esaustiva.