[RISOLTO] sintesi con luogo delle radici

[Roccop86]

ciao a tutti...mi trovo alle prese con questo esercizio...

Sistema a retroazione unitaria con $ F(s)= (K(s-2)(s+5))/((s+1)(s+15)(s^2-2s+2)) $ dopo aver tracciato il luogo positivo e negativo delle radici che è questo (positivo):



l'esercizio dice...

Sapendo che per K=10 un polo della fdt in catena chiusa è circa uguale a 1,8J, determinare per quali valori di K il sistema a ciclo chiuso è asintoticamente stabile.

Ora guardando il luogo si deduce che dovrà essere K1<K<K2 dove K1 è un valore per cui i 2 poli complessi coniugati vanno nel semipiano sinistro e K2 è un valore limite per cui il polo in s=-1 rimane nel semipiano sinistro...giusto?

A questo punto applicherei Routh...ma mi sorge un dubbio...a cosa mi serve l'indicazione dell'esercizio?? Ovvero che in K=10 ho un polo in 1,8J..a qualcosa deve servire altrimenti il prof non l'avrebbe scritta...semplifica forse il calcoli?
Comunque realizzo la tabella di Routh e vediamo che succede:
$ (s+1)(s+15)(s^2-2s+2)+K(s-2)(s+5)=0 $
$ s^4+14s^3+(K-15)s^2+(3K+2)s+(30-10K)=0 $

Costruisco ora la tabella:

$ 4) 1.................K-15..................30-10K $
$ 3) 14................3K+2..................0 $
$ 2) A.................30-10K................0 $
$ 1) B.................0........................ 0 $
$ 0) 30-10K $

Con $ A=(11K-212)/14 $ e $ B=(33K^2+1346K-6304)/(11K-212) $

A questo punto se non ho sbagliato nulla basta trovare K per cui A>0, B>0 e 30-10K>0... ma qui mi viene un dubbio...devo inserire in questo sistema di disequazioni anche i coefficienti del polinomio di Routh? Ovvero K-15>0, 3K+2>0 e 30-10K>0?

Chi mi da una mano?
Grazie

[Roccop86]

riguardando l'esercizio mi sono accorto che non è verificata la condizione necessaria per poter applicare routh...ovvero i coefficienti del polinomio dovrebbero avere tutti lo stesso segno, ma questo non si verifica mai dal momento che il sistema:

$ K-15>0 $
$ 3K+2>0 $
$ 30-10K>0 $

non ha soluzione!!
Quindi se non sbaglio è inutile l'applicazione del criterio, non avrò mai i tutti i poli a parte RE[]<0! Anche perchè andando comunque ad eseguire il criterio di Routh si ottiene come soluzione 4,24 < K < 19,27 ma questi sostituendo un valore di quest'intervallo nell'equazione non ottengo tutti i poli a parte reale negativa...

Sbaglio qualcosa?

P.S. Come considerazione aggiuntiva vi segnalo che usando il comando kpure su Scilab si ottiene come risultato proprio 4,24...non ha molto senso...

[Roccop86]

Dopo aver chiesto chiarimenti al prof sono arrivato alla conclusione dell'esercizio...
In pratica bisogna guardare i luoghi, dal luogo negativo si vede subito che per qualunque K<0 il sistema risulta sempre instabile, quindi passo ad analizzare quello positivo...
Qui si vede appunto che per K>K1 i 2 poli complessi coniugati diventano stabili in quanto passano nel semipiano sinistro, mentre per K<K2 il polo in s=-1 che è già stabile rimane stabile in quanto rimane nel semipiano sinistro...
Per calcolare K2 basta calcolare il denominatore della FDT a ciclo chiuso in s=0 e viene K2=3.
Per calcolare K1 si usa appunto l'indicazione data dall'esercizio, ovvero che per K=10 un polo è circa uguale a 1,8J che sarebbe sull'asse immaginario, questo perchè il polo in 1+j si sposta verso sinistra all'aumentare di K e per K=10 raggiunge appunto il limite di stabiltà, quindi K1=10

A questo punto sarebbe K<3 e K>10, ma non si ha soluzione comune, quindi il sistema risulta essere sempre INSTABILE, qualunque K!
In questo modo si risolve molto velocemente, si poteva anche applicare Routh come ho fatto io, ma bisognava fermarsi subito, dopo aver trovato il polinomio infatti va verificato che tutti i coefficienti siano dello stesso segno (è condizione necessaria del criterio per avere tutte le radici a parte reale negativa) ed in questo caso è impossibile...