Trasformata di Fourier

[stefano_89]

Ciao a tutti, ho alcune domande sulla trasformata di Fourier, purtroppo non ho le soluzione.

Ho la funzione d' ingresso $X(f)$ nel dominio delle frequenze: $1/4rep_{1/4} \delta(f)$ cioè la ripetizione periodico di periodo $1/4$ della funzione Delta.
Poi mi viene chiesto di trovare la trasformata $Y(f)$ di $y(nt) = cos(5/2\pin + \pi/4)$, che dovrebbe essere (con le formule di Eulero): $Y(f) = 1/2e^{j\pi/4}\delta(f - 5/4) + 1/2e^{-j\pi/4}\delta(f + 5/4)
La traslazione di $+-5/4$ viene dal fatto che $5/2\pi = 2\pif$ se non sbaglio.

Infine si deve trovare $H(f)$, avrò $H(f) = (Y(f))/(X(f))$ per $f = 0, 1/4, 1/2, 3/4$. Quindi per le "f" date, i 2 segnali non sono mai in relazione. questa cosa non mi convince..


Altro esercizio..

la funzione $h(t)$ è definita come $|t|$ per $|t| < 1$, e zero altrove. Si chiede se è causale e bibo-stabile, ed anche la convoluzione $y(t) = h(t)*x(t)$ con $x(t) = rep_{2} \delta(t)$
Per la stabilità non ci sono problemi, perchè: $\int_{-\infty}^{+\infty} |h(t)|^2 dt < +infty$. Riguardo alla causalità, non so bene, perchè trattandosi di una funzione pari si ha $x(t) = x(-t)$ quindi posso dire che i campioni sono uguali a quelli dei futuro (anti-causalità), ma anche il viceversa (causalità).
Per quando riguarda la convoluzione, penso che $y(t) = x(t)$ perchè $x(t)$ viene convoluto con $h(t)$ solo in $x = 0$.

Grazie a tutti per le correzioni..

[Ska]

Per il primo ho una domanda, stiamo parlando di un sistema tempo-continuo giusto? Perchè non comprendo la presenza di quel $n$ in $y(nt) = \cos(5/2\pi n + \pi/4)$, intendevi forse $y(t) = \cos(5/2\pi t + \pi/4)$?

Per il secondo, il sistema è non causale poichè la risposta all'impulso $h(t)$ è definita si per $t>= 0$ che per $t < 0$, quindi è sia causale che anticausale. La convoluzione $x(t)\star h(t)$ è relativamente facile: $x(t)$ è la ripetizione periodica di periodo $T=2$ della delta di dirac, la convoluzione con la delta di dirac comporta una traslazione, inoltre $h(t)$ ha supporto proprio di larghezza 2 e quindi si hanno ripetizioni periodiche di periodo $T=2$ di $h(t)$ e quindi si va a formare un segnale che si può scrivere come $y(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}tri(t-1 -2k)$.

[stefano_89]

non c' avevo proprio pensato a quella convoluzione, era banale in effetti.
Per il primo: no, intendo proprio un sistema a tempo discreto, la cui trasformazione diventa continua.

[Ska]

Ok, allora dato che non è ancora chiaro il segnale che hai, suppongo tu abbia scritto $y[n] = \cos(5/2\pi n + \pi/4)$. Questo segnale lo puoi anche scrivere come $y[n] = \cos(2\pi 1/4 n + \pi/4)$ dato che $5/4 = 1 + 1/4$.

Quindi la frequenza di questa sequenza periodica è $f_0=1/4$. Ora la DTFT di $y[n]$ è $Y(f) = e^{j\pi/4}/2 \delta(f-1/4) + e^{-j\pi/4}/2 \delta(f+1/4)$.

$H(f) = (Y(f))/(X(f))$ sì, potresti pensare che un possibile filtro abbia $H(f) = 2\cdot rect(4(f-1/4)) e^{j\pi f}$ un passa banda con frequenza centrale $f_0=1/4$ e fase $\pi f$. $H(f)$ può essere anche qualcos'altro l'importate è che nella frequenza $1/4$ abbia modulo pari a $2$ e sfasamento $+\pi/4$ per $f_0 = 1/4$ e $-\pi/4$ per $f_0 = -1/4$.

[stefano_89]

scusami non capisco, come mai $f_0 = 1/4$. la pulsazione del coseno è: $5/2\pin$, mentre nella forma canonica si deve avere $2\pinf$, quindi eguagliando $5/2\pin = 2\pif$ otterrò la frequenza $f_0$

il tuo $5/4 = 1 + 1/4$ cosa sta a significare ?

[Ska]

$5/2\pi n = 2\pi 5/4 n = 2\pi (1+1/4)n = 2\pi n + 2\pi 1/4 n$ quindi $\cos(2\pi n + 2\pi 1/4 n + \pi / 4) = \cos(2\pi 1/4 n + \pi / 4)$ poichè i multipli interi di $2\pi$ si possono eliminare.

[stefano_89]

il tuo ragionamento non fa una piega, ma non riesco a capire il motivo per cui il mio sia sbagliato, o meglio, incompleto..

[Ska]

La DTFT di una sequenza è periodica di periodo $1$ e quindi la frequenza massima ammissibile è $1/2$. $5/4 > 1/2$ e quindi vuol dire che non è la frequenza della sinusoide campionata, infatti si ha che $\cos(2\pi 5/4n) = \cos(2\pi1/4 n)$.

[stefano_89]

grazie, perfetto..