Esercizio proprietà trasformata di Fourier

[folgore]

Salve a tutti!Ho cercato di risolvere questo esercizio:
Dato il segnale $x(t)$ disegnato in figura,utilizzando "esclusivamente" le proprietà della trasformata di Fourier calcolare modulo e fase dello spettro del segnale periodico $y(t)=\sum_{k}\x(t-2k)$

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ma non riesco a concluderlo perchè mi perdo nei calcoli...potreste darmi qualche dritta?Grazie in anticipo!
Ad ogni modo ho iniziato a svolgerlo così:
Il segnale $x(t)$ si può scrivere come $x(t)=(2-2t)*Pi(t-1/2)-t*Pi(t+1/2)$ e quindi il segnale $y(t)$ che è periodico di periodo $T=2$ si potrà scrivere come:
$y(t)=\sum_{k}\x(t-2k)=rep_(2)[-t*Pi((t-1)/2)]$.
La sua trasformata di Fourier sarà:
$Y(f)=\sum_{k} 1/2*((e^(-j2pik)-sinc(k)*e^(-jpik))/((jpik)/2))*delta(f-k/2)=((e^(-j2pik)-sinc(k)*e^(-jpik))/(jpik))*delta(f-k/2)$
Ora dovrei calcolare il modulo $|Y(f)|$ e la fase $<Y(f)$ ma non riesco a capire come posso ridurre l'espressione di $Y(f)$

[luca.barletta]

Il segnale $x(t)$ si può scrivere come $x(t)=(2-2t)*Pi(t-1/2)-t*Pi(t+1/2)$

no, dovrebbe essere \( \displaystyle x(t)=(2-t)\cdot\Pi(t-1/2)-t\cdot\Pi(t+1/2) \) .
A proposito, come definisci \( \displaystyle \Pi(t) \) ? Immagino come
\( \displaystyle \Pi(t)=1 \) per \( \displaystyle |t|<1/2 \) e 0 altrove, giusto?

e quindi il segnale $y(t)$ che è periodico di periodo $T=2$ si potrà scrivere come:
$y(t)=\sum_{k}\x(t-2k)=rep_(2)[-t*Pi((t-1)/2)]$.

Anche qui non mi torna, per come è definita la porta. A proposito, come è definito \( \displaystyle \text{rep}_2(t) \) ?

[folgore]

Il segnale $x(t)$ si può scrivere come $x(t)=(2-2t)*Pi(t-1/2)-t*Pi(t+1/2)$

no, dovrebbe essere \( \displaystyle x(t)=(2-t)\cdot\Pi(t-1/2)-t\cdot\Pi(t+1/2) \) .
A proposito, come definisci \( \displaystyle \Pi(t) \) ? Immagino come
\( \displaystyle \Pi(t)=1 \) per \( \displaystyle |t|<1/2 \) e 0 altrove, giusto?

Si esatto

e quindi il segnale $y(t)$ che è periodico di periodo $T=2$ si potrà scrivere come:
$y(t)=\sum_{k}\x(t-2k)=rep_(2)[-t*Pi((t-1)/2)]$.

Anche qui non mi torna, per come è definita la porta. A proposito, come è definito \( \displaystyle \text{rep}_2(t) \) ?

In pratica il segnale generatore $[-t*Pi((t-1)/2)]$ viene replicato di passo 2.

[luca.barletta]

In pratica il segnale generatore $[-t*Pi((t-1)/2)]$ viene replicato di passo 2.

Dunque, \( \displaystyle \Pi(\frac{t-1}{2}) \) è la porta da 0 a 2, e in questo intervallo \( \displaystyle -t \) va da 0 a -2, quindi c'è qualcosa che non torna. Dovrebbe essere
\( \displaystyle \text{rep}_2((2-t)\cdot\Pi(\frac{t-1}{2})) \) ,
sei d'accordo?

[folgore]

In pratica il segnale generatore $[-t*Pi((t-1)/2)]$ viene replicato di passo 2.

Dunque, \( \displaystyle \Pi(\frac{t-1}{2}) \) è la porta da 0 a 2, e in questo intervallo \( \displaystyle -t \) va da 0 a -2, quindi c'è qualcosa che non torna. Dovrebbe essere
\( \displaystyle \text{rep}_2((2-t)\cdot\Pi(\frac{t-1}{2})) \) ,
sei d'accordo?

E' vero!Hai ragione perchè l'ampiezza di $Pi((t-1)/2)$ è la retta passante per i due punti $(0,2),(1,1)$ che è proprio $2-t$.Grazie mille per la risposta!

[folgore]

Un'ultima cosa...vorrei un consiglio su come procedere con quest'altro esercizio dove bisogna calcolare il segnale d'uscita $y(t)$ avendo in ingresso all'intero sistema il segnale $x(t)=rep_(To)[|t|*Pi((4t)/(To))]+sinc((2t)/(To))*sin((8pit)/(To))$ e dove la risposta impulsiva del secondo filtro è pari a $h(t)=((2)/(To))*sinc^(2)((2t)/(To))$.


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[K.Lomax]

Input:

\( \displaystyle w(t)=\frac{\text{d}x(t)}{\text{d}t} \)

e per una ben nota proprietà della trasformata di Fourier si ha:

\( \displaystyle W(f)=j\omega X(f) \)

e quindi

\( \displaystyle Y(f)=H(f)W(f)=j\omega X(f)H(f) \)

Il resto mi sembra abbastanza standard.

[folgore]

Input:

\( \displaystyle w(t)=\frac{\text{d}x(t)}{\text{d}t} \)

e per una ben nota proprietà della trasformata di Fourier si ha:

\( \displaystyle W(f)=j\omega X(f) \)

e quindi

\( \displaystyle Y(f)=H(f)W(f)=j\omega X(f)H(f) \)

Il resto mi sembra abbastanza standard.

Infatti l'ho svolto in questo modo...il problema è che la trasformata $W(f)$ vale $\sum_{k} jpik(To)/(16)*[sinc(k/4)-1/2sinc^2(k/8)]+(pifTo)/(2)*[((fTo-4)/(2))-Pi((fTo + 4)/(2))]$ e viene moltiplicata per la risposta in frequenza $H(f)=Lambda((fTo)/2)$ che è un impulso triangolare centrato nell'origine e compreso tra $-2/(To)$ e $2/(To)$ e quindi il filtro lascerà passare solo le frequenze comprese in quell'intervallo.Questo,dunque,vuol dire che $Y(f)=\sum_{k} jpik(To)/(16)*[sinc(k/4)-1/2sinc^2(k/8)]$.A questo punto devo discutere per i valori di $k$ pari e per i valori di $k$ dispari?