ingtlc ha scritto:mi viene da pensare allo sviluppo in serie ti Taylor ma sinceramente ho forti dubbi.
Assolutamente no, è molto più semplice!
Come ti è già stato suggerito da qualcuno, quel passaggio deriva semplicemente dall'applicazione della formula di bisezione.
Tale formula stabilisce che:
\( \displaystyle cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \pm \sqrt\left(\frac{1+cos\alpha}{2}\right) \)
da cui si ottiene, elevando al quadrato:
\( \displaystyle cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1+cos\alpha}{2} \)
(*)
Nel tuo caso: \( \displaystyle \frac{\alpha}{2} = \frac{2 \pi t}{T_0} \) cioè \( \displaystyle \alpha= \frac{4 \pi t}{T_0} \)
Per cui, applicando la formula
(*), sopra enunciata, al tuo caso, otteniamo:
\( \displaystyle cos^2\left(\frac{2 \pi t}{T_0}\right) = \frac{1+cos\left(\frac{4 \pi t}{T_0}\right)}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \ cos \left(\frac{4 \pi t}{T_0}\right) \)
___________________
Tanto per inciso: dimostrare la validità della formula di bisezione è semplicissimo:
Dalla formula di duplicazione sai che: \( \displaystyle cos \ 2\ \alpha = cos^2 \alpha \ - \ sen^2 \alpha = 2 \ cos^2 \alpha \ - \ 1 \Rightarrow cos^2 \alpha = \frac{1+cos 2\ \alpha}{2} \Rightarrow cos \alpha = \pm \sqrt \left(\frac{1 + cos2 \ \alpha}{2}\right) \)
Se al posto di \( \displaystyle \alpha \) poniamo \( \displaystyle \frac{\alpha}{2} \) , otteniamo la formula di bisezione:
\( \displaystyle cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \pm \sqrt\left(\frac{1+cos\alpha}{2}\right) \)
Ciao.