aiuto ... problema coseno

[ingtlc]

Ragazzi help ...
In un esercizio di Teoria dei Segnali mi viene chiesto di calcolare la trasformata di Fourier del seguente segnale:

x(t) = cos^2 ((2 pi t) / To )

poi ..il libro continua

questo segnale può essere riscritto nella forma

x(t) = 1/2 + 1/2 cos (( 4 pi t ) / To) perche? come ha fatto? (o meglio....cosa ha fatto...?)

mi viene da pensare allo sviluppo in serie ti Taylor ma sinceramente ho forti dubbi.



Grazie.

[ingtlc]

Ragazzi help ...
In un esercizio di Teoria dei Segnali mi viene chiesto di calcolare la trasformata di Fourier del seguente segnale:

x(t) = cos^2 ((2 pi t) / To )

poi ..il libro continua

questo segnale può essere riscritto nella forma

x(t) = 1/2 + 1/2 cos (( 4 pi t ) / To) perche? come ha fatto? (o meglio....cosa ha fatto...?)

mi viene da pensare allo sviluppo in serie ti Taylor ma sinceramente ho forti dubbi.



Grazie.

Mi sorgono forti dubbi anche sulla correttezza della sezione..... forse avrei dovuto postare questa domanda nella sezione Ingegneria perchè ho visto che li ci sono proprio domande di teoria dei segnali .

Se ho sbagliato chiedo scusa , sono nuovo .

[Ska]

Formula di bisezione.

[Mathcrazy]

mi viene da pensare allo sviluppo in serie ti Taylor ma sinceramente ho forti dubbi.

Assolutamente no, è molto più semplice!

Come ti è già stato suggerito da qualcuno, quel passaggio deriva semplicemente dall'applicazione della formula di bisezione.
Tale formula stabilisce che:

\( \displaystyle cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \pm \sqrt\left(\frac{1+cos\alpha}{2}\right) \)

da cui si ottiene, elevando al quadrato:

\( \displaystyle cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1+cos\alpha}{2} \) (*)

Nel tuo caso: \( \displaystyle \frac{\alpha}{2} = \frac{2 \pi t}{T_0} \) cioè \( \displaystyle \alpha= \frac{4 \pi t}{T_0} \)

Per cui, applicando la formula (*), sopra enunciata, al tuo caso, otteniamo:

\( \displaystyle cos^2\left(\frac{2 \pi t}{T_0}\right) = \frac{1+cos\left(\frac{4 \pi t}{T_0}\right)}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \ cos \left(\frac{4 \pi t}{T_0}\right) \)


___________________

Tanto per inciso: dimostrare la validità della formula di bisezione è semplicissimo:

Dalla formula di duplicazione sai che: \( \displaystyle cos \ 2\ \alpha = cos^2 \alpha \ - \ sen^2 \alpha = 2 \ cos^2 \alpha \ - \ 1 \Rightarrow cos^2 \alpha = \frac{1+cos 2\ \alpha}{2} \Rightarrow cos \alpha = \pm \sqrt \left(\frac{1 + cos2 \ \alpha}{2}\right) \)

Se al posto di \( \displaystyle \alpha \) poniamo \( \displaystyle \frac{\alpha}{2} \) , otteniamo la formula di bisezione:

\( \displaystyle cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \pm \sqrt\left(\frac{1+cos\alpha}{2}\right) \)

Ciao.

[ingtlc]

Grazie 1000 ... gentilissimi !!!