Beh, quella uguaglianza si spiega con una bella dimostrazione...
\( \displaystyle \mathcal{I} (\tau ):= \int_{-\frac{\tau }{2}}^{\frac{\tau }{2}} x^2(t)\ \text{d} t \) ,
\( \displaystyle \lim_{\Delta T\to +\infty} \frac{1}{\Delta T}\ \mathcal{I}(\Delta T) =\frac{1}{T}\ \mathcal{I} (T) \) ,
(*) \( \displaystyle \lim_{\Delta T\to +\infty} \left| \frac{1}{\Delta T}\ \mathcal{I}(\Delta T) -\frac{1}{T}\ \mathcal{I} (T) \right| =0 \) .
Di seguito ho dimostrato la (*); la dimostrazione che ho trovato è semplice, ma un po' lunga.
Vedi un po' se ti garba...
Il tuo segnale è periodico di periodo \( \displaystyle T \) ; ciò implica che, comunque scegli un intervallo \( \displaystyle [a,b] \) di ampiezza \( \displaystyle b-a=T \) , hai:
\( \displaystyle \int_a^b x^2(t)\ \text{d} t=\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} x^2(t)\ \text{d} t=\mathcal{I} (T) \) .
Quindi per la proprietà additiva dell'integrale e per la relazione scritta sopra, per ogni \( \displaystyle k\in \mathbb{N} \) si ha:
\( \displaystyle \mathcal{I} (T+2kT) =\int_{-\frac{T}{2} -kT}^{\frac{T}{2}+kT} x^2(t)\ \text{d} t \)
\( \displaystyle = \sum_{h=0}^{2k} \int_{-\frac{T}{2} -kT+hT}^{-\frac{T}{2} -kT +(h+1)T} x^2(t)\ \text{d} t \)
\( \displaystyle = \sum_{h=0}^{2k} \mathcal{I} (T) \)
\( \displaystyle =(2k+1)\ \mathcal{I} (T) \) .
Scegliamo \( \displaystyle \Delta T\geq T \) e poniamo:
\( \displaystyle k:=\max \{ h\in\mathbb{N} :\ [-\tfrac{T}{2} -hT ,\tfrac{T}{2} +hT] \subseteq [-\tfrac{\Delta T}{2}, \tfrac{\Delta T}{2}]\} \) ;
evidentemente \( \displaystyle k\geq 1 \) esiste finito perchè l'insieme a secondo membro è finito (per la
proprietà di Archimede); anzi si può calcolare esplicitamente che:
\( \displaystyle k=\left[ \frac{\Delta T}{T} \right] -1 \) (qui \( \displaystyle [\cdot ] \) è la parte intera).
Per la proprietà additiva dell'integrale si trova allora:
\( \displaystyle \mathcal{I} (\Delta T) =\int_{-\frac{\Delta T}{2}}^{-\frac{T}{2} -kT} x^2(t)\ \text{d} t +\int_{\frac{T}{2}+kT}^{\frac{\Delta T}{2}} x^2(t)\ \text{d} t + (2k+1)\ \mathcal{I} (T) \)
\( \displaystyle =\int_{\frac{T}{2}+kT}^{\frac{\Delta T}{2}} \{ x^2(t) +x^2(-t)\} \ \text{d} t + (2k+1)\ \mathcal{I} (T) \) ,
quindi:
\( \displaystyle \frac{1}{\Delta T}\ \mathcal{I}(\Delta T) =\frac{1}{\Delta T}\ \mathcal{J} (\Delta T) + \frac{2k+1}{\Delta T}\ \mathcal{I} (T) \)
ove, per comodità, abbiamo posto:
\( \displaystyle \mathcal{J} (\Delta T) := \int_{\frac{T}{2}+kT}^{\frac{\Delta T}{2}} \{ x^2(t) +x^2(-t)\} \ \text{d} t \) .
Abbiamo:
\( \displaystyle \left| \frac{1}{\Delta T}\ \mathcal{I}(\Delta T) -\frac{1}{T}\ \mathcal{I} (T) \right| = \left| \frac{1}{\Delta T}\ \mathcal{J} (\Delta T) + \Big\{ \frac{2k+1}{\Delta T} -\frac{1}{T} \Big\} \ \mathcal{I} (T) \right| \)
\( \displaystyle \leq \frac{1}{\Delta T}\ \mathcal{J} (\Delta T) + \Big\{ \frac{2k+1}{\Delta T} -\frac{1}{T} \Big\} \ \mathcal{I} (T) \)
ed a questo punto abbiamo finito se riusciamo a provare che entrambi gli addendi all'ultimo membro sono infinitesimi.
Per quanto riguarda \( \displaystyle \frac{1}{\Delta T}\ \mathcal{J} (\Delta T) \) la cosa è immediata: infatti, visto che l'ampiezza dell'intervallo \( \displaystyle [\tfrac{T}{2} +kT, \tfrac{\Delta T}{2}] \) è sempre \( \displaystyle \leq T \) (per la stessa definizione di \( \displaystyle k \) ) si ha:
\( \displaystyle \mathcal{J} (\Delta T) \leq 2\mathcal{I} (T) \)
quindi:
\( \displaystyle 0\leq \frac{1}{\Delta T}\ \mathcal{J} (\Delta T) \leq \frac{2}{\Delta T}\ \mathcal{I} (T) \)
e l'ultimo membro tende a \( \displaystyle 0 \) per \( \displaystyle \Delta T\to +\infty \) .
Consideriamo infine l'addendo \( \displaystyle (\frac{2k+1}{\Delta T} -\frac{1}{T}) \ \mathcal{I} (T) \) : evidentemente per la stessa definizione di \( \displaystyle k \) si ha \( \displaystyle 2kT \leq \Delta T \leq (2k+1) T \) , quindi:
\( \displaystyle \Big\{ \frac{2k+1}{(2k+1)T} -\frac{1}{T} \Big\} \ \mathcal{I} (T) \leq \Big\{ \frac{2k+1}{\Delta T} -\frac{1}{T} \Big\} \ \mathcal{I} (T) \leq \Big\{ \frac{2k+1}{2k T} -\frac{1}{T} \Big\} \ \mathcal{I} (T) \)
ossia:
\( \displaystyle 0 \leq \Big\{ \frac{2k+1}{\Delta T} -\frac{1}{T} \Big\} \ \mathcal{I} (T) \leq \Big\{ \frac{2k+1}{2k T} -\frac{1}{T} \Big\} \ \mathcal{I} (T) \)
sicché passando al limite per \( \displaystyle \Delta T\to +\infty \) (e tenendo presente che ciò implica \( \displaystyle k\to +\infty \) ) si ottiene che anche il secondo addendo è infinitesimo.
Pertanto è evidente che vale la relazione (*).