Con riferimento allo schema in figura,il segnale $x(t)$ viene campionato con impulsi reali $p(t)=rect(t-1/2)$ con frequenza di campionamento $f_c$ e filtrato con un sistema avente risposta in frequenza:
$H(f)={(cos(pi*f)*e^((jpif)/2),|f|<=1/4),(0,text{altrimenti}):}$.
Si consideri come ingresso $x(t)=sinc(t)$,
1.Nell'ipotesi in cui $f_c=3/4$ rappresentare graficamente lo spettro di $x_c (t)$ e stabilire se il segnale è affetto da aliasing;
2.Determinare infine il segnale $y(t)$ prodotto in uscita.
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Il punto 1. l'ho svolto così:
Sono partito dal fatto che il segnale campionato si può esprimere con la formula $x_c (t)=x(t)*\sum_{n=-oo}^(+oo)p(t-nT)$ e la sua trasformata di Fourier risulta:
$x_c (t)=x(t)*\sum_{n=-oo}^(+oo)p(t-nT)$ $harr$ $X_c (f)=\sum_{n=-oo}^(+oo) (1/T_c)*P(k/T_c)*X(f-k/T_c)=\sum_{n=-oo}^(+oo) P_k*X(f-k/T_c)$
Trasformo sia l'impulso che campiona il segnale in ingresso $x(t)$ sia quest'ultimo:
$p(t)=rect(t-1/2)$ $harr$ $P(f)=sinc(f)*e^(-jpif)$
$P_k=1/T_c *P(k/T_c)=3/4*sinc((3k)/4)*e^(-jpi(3k)/4)$
$x(t)=sinc(t)$ $harr$ $X(f)=rect(f)$.
Pertanto:
$X_c (f)=\sum_{n=-oo}^(+oo) 3/4*sinc((3k)/4)*e^(-jpi(3k)/4)*rect(f-(3k)/4)$
Graficando ho riscontrato che gli impulsi rettangolari si sovrappongono tra loro proprio perchè non è soddisfatto il vincolo di Nyquist in quanto $f_c<2B$ e quindi siamo in condizioni di sottocampionamento e cioè il segnale è affetto da aliasing.
Ora lo spettro del segnale $X_c (f)$ viene moltiplicato per la risposta in frequenza $H(f)$ del filtro ottenendo $Y(f)$.Il mio problema è che non riesco ad esprimere la $H(f)$ in modo tale da rendere agevoli i calcoli...anche se da quanto ho capito dovrebbe lasciar passare solo le frequenze appartenenti all'intervallo $-1/4<=f<=1/4$.Cosa ne pensate?
