Segnale in forma analitica.

[Lionel]

Salve. Ho il seguente segnale:



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e lo devo riscrivere in forma analitica. Io ho fatto così e vorrei sapere se è corretto:



per $0 <= t < 1$ vale $t$

per $1 <= t < 2$ vale $1$

per $2 <= t < 3$ vale $- 1 * [u (t-2) - u (t-3)]$

per $t >= 3$ vale $0$

Grazie Mille.

[K.Lomax]

Hai confuso un po' le notazioni. O scrivi il segnale per intervalli o per funzioni (che hanno insite nella loro definizione un intervallo). Nel tuo caso puoi scrivere sinteticamente:

\( \displaystyle f(t)=t(u(t)-u(t-1))+u(t-1)-u(t-2)-u(t-2)+u(t-3)=tu(t)+(1-t)u(t-1)-2u(t-2)+u(t-3) \)

Altrimenti lo scrivi per intervalli, come stavi facendo, ma nell'intervallo \( \displaystyle 2\leq t \leq3 \) metti semplicemente \( \displaystyle -1 \) , ovvero quanto vale il segnale in quell'intervallo.

[Lionel]

Hai confuso un po' le notazioni. O scrivi il segnale per intervalli o per funzioni (che hanno insite nella loro definizione un intervallo). Nel tuo caso puoi scrivere sinteticamente:

\( \displaystyle f(t)=t(u(t)-u(t-1))+u(t-1)-u(t-2)-u(t-2)+u(t-3)=tu(t)+(1-t)u(t-1)-2u(t-2)+u(t-3) \)

Altrimenti lo scrivi per intervalli, come stavi facendo, ma nell'intervallo \( \displaystyle 2\leq t \leq3 \) metti semplicemente \( \displaystyle -1 \) , ovvero quanto vale il segnale in quell'intervallo.

Ok. Grazie. Ti posto anche l'altro pezzettino dell'esercizio giusto per capire se ho fatto bene e come dovrei procedere.
L'altro pezzo dell'esercizio chiede di calcolare la risposta complessiva del sistema date le matrice A, B, C la condizione
$delta x_0 = [0.1, 0]^T$ ed il segnale visto in precedenza in figura.

Ora per fare questo devo applicare la seguente relazione:

$Y(s) = Y_l + Y_f = C*(s*I - A) ^ -1 delta x_0 + C*(s*I - A)^-1 * B * U(s)$

ora tutto sta nel calcolare $U(s)$ e semplicemente basta fare la trasformata di laplace del segnale $u(t) = tu(t)+(1-t)u(t-1)-2u(t-2)+u(t-3)$

ottenendo così:

$U(s) = 1/s (-2*e^(-2s) + e ^ (-3s)) + (1/s^2)*(1 - e^-s)$

Fin qui credo vada bene...ma ora il mio problema è questo, come faccio ad ottenere la risposta complessiva applicando questa relazione

$Y(s) = Y_l + Y_f = C*(s*I - A) ^ -1 delta x_0 + C*(s*I - A)^-1 * B * U(s)$

se $U_1(s) = 1/s$ che $U_2(s) = 1/s^2$

Spero sia chiara la mia domanda. Di solito mi nello svolgere gli esercizi mi usciva solo $U(s) = 1/s$ ma qui no.

[Ahi]

Hai confuso un po' le notazioni. O scrivi il segnale per intervalli o per funzioni (che hanno insite nella loro definizione un intervallo). Nel tuo caso puoi scrivere sinteticamente:

\( \displaystyle f(t)=t(u(t)-u(t-1))+u(t-1)-u(t-2)-u(t-2)+u(t-3)=tu(t)+(1-t)u(t-1)-2u(t-2)+u(t-3) \)

Altrimenti lo scrivi per intervalli, come stavi facendo, ma nell'intervallo \( \displaystyle 2\leq t \leq3 \) metti semplicemente \( \displaystyle -1 \) , ovvero quanto vale il segnale in quell'intervallo.

Ok. Grazie. Ti posto anche l'altro pezzettino dell'esercizio giusto per capire se ho fatto bene e come dovrei procedere.
L'altro pezzo dell'esercizio chiede di calcolare la risposta complessiva del sistema date le matrice A, B, C la condizione
$delta x_0 = [0.1, 0]^T$ ed il segnale visto in precedenza in figura.

Ora per fare questo devo applicare la seguente relazione:

$Y(s) = Y_l + Y_f = C*(s*I - A) ^ -1 delta x_0 + C*(s*I - A)^-1 * B * U(s)$

ora tutto sta nel calcolare $U(s)$ e semplicemente basta fare la trasformata di laplace del segnale $u(t) = tu(t)+(1-t)u(t-1)-2u(t-2)+u(t-3)$

ottenendo così:

$U(s) = 1/s (-2*e^(-2s) + e ^ (-3s)) + (1/s^2)*(1 - e^-s)$

Fin qui credo vada bene...ma ora il mio problema è questo, come faccio ad ottenere la risposta complessiva applicando questa relazione

$Y(s) = Y_l + Y_f = C*(s*I - A) ^ -1 delta x_0 + C*(s*I - A)^-1 * B * U(s)$

se $U_1(s) = 1/s$ che $U_2(s) = 1/s^2$

Spero sia chiara la mia domanda. Di solito mi nello svolgere gli esercizi mi usciva solo $U(s) = 1/s$ ma qui no.

Credo, sempre se ho capito che devi utilizzare la proprietà di linearità dei sistemi. Ovvero ti calcoli:

$Y_1 (s) = Y_(lib_1) + Y_(forz_1)$

e

$Y_2 (s) = Y_(lib_2) + Y_(forz_2)$

e quindi in totale fai:

$Y_t (s) = [Y_(lib_1) + Y_(lib_2)] + [Y_(forz_1) + Y_(forz_2)]$

e quindi antitrasformi per ottenere la $y(t)$

Questo è come farei io. Può essere anche sbagliato.