Controlli automatici - Banda passante

[Orlok]

Salve,

Ho un dubbio a proposito della determinazione della banda passante data una fdt. A parte il fatto che la definizione che ho trovato mi risulta essere un pò diversa da quella del libro di elettronica. In particolare, negli appunti del prof c'è scritto che la banda passante è la frequenza in corrispondenza della quale la fdt subisce una certa attenuazione, ossia:

Se chiamo $|W(j\omega )|$ la funzione di trasferimento e $|W(j0)|$ quella valutata per $\omega =0$, allora la banda passante è l'ascissa del diagramma della risposta armonica in corrispondenza della quale $|W(j0)|=|W(j\omega )|$

Ora, il problema è che devo trovare la banda passante per un'attenuazione di 3dB del modulo della seguente funzione di trasferimento:

$W(s)=10\frac {(s+2)}{(s+4)(s+50)(s+500)}$

Come primo passo mi sono calcolato $|W(j0)|$ ponendo dapprima $s=j\omega $ e successivamente $\omega =0$. Poi ho moltiplicato il risultato per $0,707$. Da quel che ho capito dovrei adesso eguagliare il valore che ho ottenuto alla $W(j\omega )$ e cercare il valore di ascissa che rispetta l'uguaglianza.....ma quello che non ho capito è : come posso ricavarmi un singolo valore dalla $W(s)$ dell'esercizio, se a denominatore trovo il prodotto di 3 binomi ?

Spero che qualcuno mi possa aiutare ad aver chiara questa faccenda....

Grazie.

[K.Lomax]

Quella definizione è un caso particolare. La banda passante di un filtro passa-banda non può avere certo quella definizione. Immagino che il tuo prof facesse riferimento ai filtri passa basso.
Comunque, analiticamente quella equazione che esce fuori la puoi risolvere solo numericamente. Se magari ragioni sul diagramma di Bode puoi determinarla più facilmente, ma comunque in maniera approssimata.

[Orlok]

Si credo anche io che facesse riferimento ai passa-basso.

Avevo pensato (ma non so se giusto) ad utilizzare come polo dominante $500$ e quindi approssimare la frequenza in corrispondenza della quale di verifica una riduzione di 3dB proprio $\omega =500$.

Oppure ad utilizzare la seguente espressione:

$\omega = \sqrt {(\omega_1)^2+...+(\omega_n)^2-2\omega^2_{z_1}-...-2 \omega^2_{z_m}}$ se $n$ sono i poli ed $m$ sono gli zeri. Che ne dici ?

Ritornando al caso numerico in cui voglio risolvere quell'equazione: quante soluzioni mi darebbe ?

[K.Lomax]

Prova a disegnarti il diagramma di Bode del modulo. Ad occhio e croce mi sembra che possano essere trascurati il primo polo e lo zero, ma che si debba tenere in conto il polo per \( \displaystyle \omega=50 \) . Il numero di soluzioni è pari al grado del polinomio, ma alcune possono essere trascurate.