Diagrammi di Bode

[marina2104]

ciao a tutti, ho dei problemi a disegnare il diagramma delle ampiezze della funzione:

$H(s)= 10^2 * s^2/((1+10s)^2(1+s^2/100))$

Ho scritto la forma di Bode:

$H(jw) = 10^2 * (jw)^2 / ((1 + 10jw)^2(1- w^2/10^2))$

il guadagno $Kb = 10^2$ quindi $20log100 = 40$, dovrebbe trovarsi a $40 db$ in $10^0$, invece no, nel libro in $10^0$ l'ampiezza è 0. Il diagramma del libro parte da $-80 db$ in $10^(-3)$, sale fino ad arrivare a $0db$ in $10^(-1)$, poi la retta è orizzontale fino a $10^1$ dove scende di 40 db per decade fino a $10^2$. ora, le mie domande sono,parte in salita perchè? resta orizzontale in $10^0$ perchè? La costante di Bode che ruolo ha?

[K.Lomax]

Il diagramma parte in salita perchè c'è uno zero doppio in \( \displaystyle \omega=0 \) che, in scala logaritmica, corrisponde ad una retta che cresce con pendenza pari a \( \displaystyle 40db \) .
Il primo polo ad intervenire è quello in corrispondenza di \( \displaystyle \omega=\frac{1}{10} \) , ed è anch'esso doppio ( \( \displaystyle (1+\frac{s}{0.1})^2 \) ). Essendo questo polo doppio, esso annulla completamente il precedente zero doppio e quindi da questa pulsazione in poi la retta è orizzontale (ovviamente nel diagramma approssimato).
Il guadagno immagino che è quello di centro banda (il filtro è passa banda) e si può facilmente vedere che per \( \displaystyle \omega=0.1 \) (pulsazione in cui si la risposta diventa costante) il guadagno è unitario ( \( \displaystyle 10^0 \) non è 0).

[marina2104]

Perchè parte in salita a $-40dB$? Dato che il guadagno è $20log10^2$ cioè $40$ non dovrebbe partire da $40db$?

[K.Lomax]

Il modulo di quella funzione di trasferimento in db è il seguente:

\( \displaystyle |H(j\omega)|_{dB}=20\log(|H(j\omega)|)=20\log\left(10^2\frac{\omega^2}{(1+100\omega^2)(1-0.01\omega^2)}\right) \)

Per note proprietà dei logaritmi questa diventa:

\( \displaystyle |H(j\omega)|_{dB}=20\log(10^2)+20\log(\omega^2)-20\log(1+100\omega^2)-20\log(1-0.01\omega^2) \)

Per \( \displaystyle \omega\to 0 \) , quindi in fase iniziale del diagramma di Bode, si ha:

\( \displaystyle \displaystyle\lim_{\omega\to 0}|H(j\omega)|_{dB}= \)
\( \displaystyle =\lim_{\omega\to 0}20\log(10^2)+20\log(\omega^2)-20\log(1+100\omega^2)-20\log(1-0.01\omega^2) \) \( \displaystyle =-\infty \)

Ora, per \( \displaystyle \omega \) che cresce, gli ultimi due termini fin quando non mi avvicino a \( \displaystyle \omega=0.1 \) puoi trascurarli e considerare solamente \( \displaystyle 20\log(\omega^2) \) (la costante \( \displaystyle 20\log(10^2) \) è sempre trascurabile anch'essa dato che \( \displaystyle 20\log(\omega^2) \) è molto elevato in modulo per \( \displaystyle \omega \) piccolo). Questo termine è riscrivibile come

\( \displaystyle 20\log(\omega^2)=40\log(\omega) \)

che in scala logaritmica corrisponde ad una retta con pendenza pari a \( \displaystyle +40dB \) per ogni decade.