[Esercizio Teoria dei sistemi]: Regime

[Lionel]

Salve a tutti, mi chiedevo se ho svolto bene il seguente esercizio. L'esercizio chiede di calcolare se esiste la risposta a regime permantente della seguente funzione di trasferimento:

$G(s) = (s - 1) / (s^2 + s + 1)$

Allora affinché sia possibile calcolare la risposta a regime permanente il sistema deve essere SOLO asintoticamente stabile, quindi né instabile e né semplicemente stabile (corretto?).
In questo stato presenta due autovalori a parte reale negativa quindi la f.d.t. è sicuramente Asintoticamente Stabile. Per calcolare tale risposta mi servo del teorema del valore finale e quindi:

$\lim_{s \to \0} [(s - 1) / (s^2 + s + 1)]*s = 0$

Quindi la risposta a regime permanente è nulla. Corretto il procedimento?

[K.Lomax]

Così hai applicato il teorema del valor finale alla fdt (risposta a regime permanente con ingresso impulsivo), invece dovresti calcolare la risposta a regime permanente del sistema in corrispondenza di un determinato ingresso al sistema, che però non riporti nella traccia.

[Lionel]

Così hai applicato il teorema del valor finale alla fdt (risposta a regime permanente con ingresso impulsivo), invece dovresti calcolare la risposta a regime permanente del sistema in corrispondenza di un determinato ingresso al sistema, che però non riporti nella traccia.

Allora mi si da come ingresso $u(t) = 2 sin(t) * u(t) - 4 (t - 2)*u(t-2)$. Fatta la trasformata di laplace di questo ingresso ottengo $U(s)$ e quindi dovrei fare:


$\lim_{s \to \0} [(s - 1) / (s^2 + s + 1)]*U(s) =$

Così dici?

[K.Lomax]

Si, esatto. Rigorosamente sarebbe

\( \displaystyle \displaystyle\lim_{s\to 0}sY(s)=\lim_{s\to 0}sG(s)U(s) \)

evitando di farlo per l'ingresso sinusoidale per il quale dovresti sapere, in base ad un noto teorema, qual è l'uscita.

[Lionel]

Si, esatto. Rigorosamente sarebbe

\( \displaystyle \displaystyle\lim_{s\to 0}sY(s)=\lim_{s\to 0}sG(s)U(s) \)

evitando di farlo per l'ingresso sinusoidale per il quale dovresti sapere, in base ad un noto teorema, qual è l'uscita.

Allora ti posto il mio procedimento. Se mi dici che vabbene farò l'esame. Altrimenti mi cancellerò dalla prenotazione e continuerò a studiare e chiederò a te se possibile il modo in cui dovevo procedere (sempre se ti va). Prima cosa.

1. Trasformata di Laplace del segnale in ingresso: U(s) = $2/(s^2 + 1) + [4/(s^2)]*e^(-2s)$

2. Ma il seno gode del noto teorema per cui tramite qualche piccolo calcolo si ha:

$G(s) = G(jomega) = (omegaj - 1)/((jomega)^2 + jomega + 1)$ essendo $sin t$ $=>$ $omega = 1$ sostituendo si ricava

$G(s) = G(jomega) = (omegaj - 1)/((jomega)^2 + jomega + 1) = -1 + j$

Sempre se ho fatto bene i calcoli. Da cui il modulo è:

$A = sqrt((-1)^2 + (1)) = sqrt(2)$ e la fase: $phi = arctg (-1) = - pi/4$

e in definitiva:

$y_(1_p) = 2 * sqrt(2) * sin(omega*t - pi/4)$

3. Nel secondo pezzo devo fare il limite per cui

\( \displaystyle \displaystyle\lim_{s\to 0}sY(s)=\lim_{s\to 0}sG(s)U(s) =\lim_{s\to 0}(4/s^2)*s*(s -1)/(s^2 + s +1) = -4 \)

La risposta a regime permanente totale sarà:

$y_(1_p) = 2 * sqrt(2) * sin(omega*t - pi/4) + 4$

Quante fesserie ho scritto? O dammi una speranza che ho capito qualcosa. L'impegno ce lo sto mettendo, la materia però è comunque bella tosta. Grazie per la comprensione.

[K.Lomax]

Allora ti posto il mio procedimento. Se mi dici che vabbene farò l'esame. Altrimenti mi cancellerò dalla prenotazione e continuerò a studiare e chiederò a te se possibile il modo in cui dovevo procedere (sempre se ti va).

Questo mi sembra un attimino esagerato. In quest'ottica conviene che non ti risponda no?

[Lionel]

Scusa, non volevo offederti. Più che altro era qualcosa contro di me. Mi spiace averla scritta. Sono arrabbiato solo con me che studio e non so fare gli esercizi. Inoltre il se ti va era un modo, sbagliato lo so, di essere educato. Scusami.[/spoiler]

[K.Lomax]

Io non mi sono offeso assolutamente, quello che intendevo dire è che la tua presenza all'esame non deve dipendere dalla mia risposta.
Premesso che non ho controllato i conti, il procedimento è corretto per quel che riguarda la risposta sinusoidale. Invece, ti consiglio di rivedere il secondo limite.

[Lionel]

Io non mi sono offeso assolutamente, quello che intendevo dire è che la tua presenza all'esame non deve dipendere dalla mia risposta.
Premesso che non ho controllato i conti, il procedimento è corretto per quel che riguarda la risposta sinusoidale. Invece, ti consiglio di rivedere il secondo limite.

Capito. Qualche errore di calcolo? O anche il procedimento è sbagliato? Alla fine sono andato a fare l'esame e sono restato con qualche dubbio che quando avrò tempo posterò sul sito. Sperando di non aver sbagliato!
Grazie.