[Teoria dei Sistemi] Esercizio f.d.t

[Lionel]

Salve, volevo sapere se ho svolto bene il seguente esercizio:

Data la seguente funzione di trasferimento:

$G(s) = 1/(s^2 + a*s + b)$

1) Determinare i valori dei parametri a,b per cui il sistema a modi pseudo periodici convergenti che oscillano ad una frequenza di $0.2 Hz$ e con smorzamento pari a $0.7$;

2) Quanto tempo occorre aspettare affinché il sistema mostri la risposta a regime?

Mio svolgimento

1) Riscrivo la f.d.t. nel modo seguente:

$G(s) = 1/(s^2 + 2 * zita*omega_n*s + (omega_n)^2)$

volendo ancora:

$G(s) = 1/(s^2/((omega_n)^2) + 2 * (zita*s)/(omega_n) + 1)$

dunque si ricava che:

$a = 2*zita*omega_n$

$b = omega_n*sqrt(1 - zita^2)$

risolvo questo sistema ricavando $omega_n = 2*pi*0.2$ e andando a sostituire.

Per quanto riguarda il secondo punto basta applicare:

2) $tau = 4.6 / (zita*omega_n)$

Giusto così? Spero mi potete aiutare perché prima durante il tutorato la professoressa dice che ho fatto bene l'esercizio (che è praticamente identico) e dopo fatto l'esame dice che è completamente sbagliato. Credo non mi ascolti per nulla durante il tutorato purtroppo

[K.Lomax]

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[Lionel]

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Per la professoressa va bene se consideriamo $n = 4.6$ secondi. Nel mio esercizio già è fornito lo smorzamento. Questo post mi confonde ulteriormente. Allora $omega$ o $omega_n$ è uguale a $2*pi*f$ ?

[K.Lomax]

Allora, le due condizioni sono

\( \displaystyle a=2\zeta \omega_n=2*0.7*1.256=1.75 \)
\( \displaystyle b=\omega_n^2=(2\pi*0.2)^2=1.57 \)

se per 0.2 intende la frequenza naturale. Altrimenti, se intende la frequenza smorzata si ha

\( \displaystyle a=2\zeta \omega_n=1.4\omega_n \)
\( \displaystyle \omega=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}=\omega_n\sqrt{1-0.7^2}=\omega_n*0.71=1.256\Rightarrow\omega_n=1.76 \)
che ti permette di ricavare \( \displaystyle a \) e \( \displaystyle b \) .

Spero di aver fatto bene i conti