[Teoria dei Sistemi]: Compito Risolto, ma ho dei dubbi.

[Lionel]

Salve a tutti!

Ho fatto il compito di sistemi, ma ho alcuni dubbi relativi all'esame.

1) Un esercizio mi richiedeva di tracciare i diagrammi di Bode della seguente funzione di trasferimento

$(s^3 + 4 s^2 + 10 s + 7)/(s^5 + 16 s^4 + 103 s^3 + 333 s^2 + 540 s + 351)$

e non ho avuto problemi nel risolverlo. I diagrammi infatti mi sono venuti proprio così:



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poi sempre tramite i diagrammi di bode mi chiedeva di calcolare la risposta a regime al segnale: $u(t) = sen(100t + pi/4)$

Non so se ho fatto bene, ma ho preso sul diagramma di bode $omega = 100$ rad/sec e li ho convertiti, se non ho sbagliato veniva $10^-4$ e sul diagramma della fase con lo stesso procedimento: $-pi/2$, ho sostituito nel teorema che mi dice:

$x(t) = |G(jomega)|*sin(omegat + pi/4 - pi/2)$

Fin qui spero di aver fatto bene.
Il terzo punto non sono riuscito a farlo un po' per mancanza di tempo, un po' perché non so come farlo.

Per quali valori della frequenza la risposta a regime è attenuata di $0.01$?

Penserei che devo utilizzare il punto precedente ma come?

[Lionel]

Esercizio 2

Quest'altro esercizio mi chiedeva:

Dato il sistema descritto dalla seguente f.d.t:

$G(s) = (s^2 + 7*s + 20)/[(s + 1)*(s^2 + 2)]$

si studi, con il criterio di Routh, la stabilità del sistema retroazionato ad anello k.

Allora dovrebbe essere uno schema a blocchi così:

$K*G(s)/[1+K*G(s)] = K*(s^2 + 7*s + 20)/[(s + 1)*(s^2 + 2)]/[1 + K*(s^2 + 7*s + 20)/((s + 1)*(s^2 + 2))]$

effettuando il minimo comune multiplo e altri calcoli viene:

$Y(s) = (K*(s^2 + 7*s + 20))/[(s + 1)*(s^2 + 2) + K*(s^2 + 7*s + 20)]

Dovevo dividere sia denominatore che numeratore per K o potevo applicare anche così il criterio di Routh al denominatore? Perché quel k al numerato me lo sono dimenticato per la fretta
Comunque alla fine mi esce che è stabile per $K>2$

[Lionel]

Esercizio 3

Data la seguente funzione di trasferimento:

$G(s) = k/(p(s))$

determinare k ed il polinomio p(s) in modo che abbia guadagno statico pari a 9, un modo aperiodico convergente con costante di tempo pari a 2 secondi, modi pseudoperiodici convergenti che oscillano ad una frequenza di 0.4 Hz ed hanno uno smorzamento pari a 0.5.

Allora io ho risolto nel seguente modo ho pensato che il polinomio è della forma:

$p(s) = s^2 + 2*s*eta*omega_n + (omega_n)^2$

Quindi il guadagno statico si ha quando:

$G(0) = K/(omega_n)^2 = 9$

una volta calcolata $omega = 2*pi*f$

risolvendo il sistema

$omega = omega_n*sqrt(1 - eta^2)$

$tau = 4.6/(eta*omega_n)$

si ricavano i dati di interesse.

Questi sono i tre esercizi dove ho dubbi. Routh mi sa che ho fatto bene. Gli altri esercizi li ho fatti bene, almeno spero.

Grazie per le vostre risposte.