Frequenze positive e negative –Serie e Trasformata di Fourier
Desidero fare il punto sulla situazione in quanto ho notato che non tutti hanno chiaro che la realtà fisica prevede solo frequenza positive o al più nulle ( $f=0 $ , segnale costante nel tempo ).
Chiarisco anche che il segnale sinusoidale in funzione del tempo, ad es. $ u= A*sen (omega t) $ [con $omega= 2 pi f $ essendo $ f $ la frequenza ] e quello sfasato di $ pi (= 180)$ cioè $u_1=A*sen(omegat +pi) $ hanno la stessa frequenza positiva $ f $ .I due segnali sono opposti, essendo il secondo $u_1= -A* sen (omega t) = - u $ ; semplicemente differiscono nella fase, di $ 180 $.
Ciò premesso consideriamo la Serie e Trasformata di Fourier di un segnale.
Quando si rappresenta un segnale (periodico) con la serie di Fourier o con la trasformata di Fourier ( non più necessariamente periodico) si possono incontrare le frequenze negative che sono solo un artificio matematico.In entrambi i casi si passa dal dominio del tempo a quello delle frequenze.
Le frequenze negative si trovano nel caso di spettri bilateri che si ottengono se si usa la forma esponenziale della serie di Fourier :
$ u(t)= sum_(n= -oo)^(+oo) X_n *e^(j2pi nFt)$ essendo $X_n $ i coefficienti di Fourier- in genere numeri complessi-,$F$ la
frequenza fondamentale del segnale , $f =nF $ le varie frequenze multiple della fondamentale che compongono il segnale .
Da notare che $|X_n | $ è lo spettro di ampiezza del segnale mentre $ phi_n = arctg [(I(X_n ))/(R(X_n))] $ è lo spettro di fase, essendo $I, R $ rispettivamente la parte immaginaria e quella reale di $ X_n $.
Se invece si usa la forma trigonometrica della serie di Fourier non si hanno frequenze negative in quanto :
$ x(t)= a_0/2+sum_(n=1)^(+oo) (a_n cos(2pinFt)+b_n sen(2pinFt) ) $, essendo $a_n, b_n $ i coefficienti di Fourier.
La trasformata di Fourier, con spettro bilatera pure implica l’uso di frequenze negative essendo $X(f)= int_(-oo)^(+oo) x(t)e ^(-j2pift) dt $.
L’uso degli spettri bilateri è comodo ai fini dei calcoli ; ha però l’inconveniente di richiedere per ogni effettiva frequenza, cioè per ogni effettiva oscillazione sinusoidale , due punti sull’asse delle frequenze, simmetricamente collocati rispetto all’origine.
Lo spettro unilatero ha il vantaggio di una notevole semplificazione grafica ( nella rappresentazione dei vettori rotanti ) e di una maggiore evidenza fisica poichè mostra ciò che accade alle frequenze positive, le uniche “esistenti”.
L’estensione dello spettro alle frequenza negative non aggiunge alcuna informazione alla conoscenza della funzione con cui si ha a che fare dato che la trasformata di $-f $ è uguale alla trasformata della coniugata della trasformata di $f$.: tale estensione serve solo a far si che sommando degli esponenziali con esponente immaginario si ottenga un risultato reale.
Infatti $e ^(j theta ) +e^(-j theta ) = 2cos theta $.
Esempio di segnale nel tempo e della sua trasformata di Fouriersia :$u(t)= A $ per $|t|<T/2 $ ; $u(t)=0 $ altrove – si tratta dell’impulso rettangolare.
La sua trasformata di Fourier è $ hat U(f) = (A*T) (sen(pi ft ))/(pi ft ) $ .
Naturalmente appaiono le frequenze negative che sono un puro artificio.
Lo spettro del segnale in realtà si estende da ($f=0$, la componente continua ) fino a $+oo $ .
Naturalmente i circuiti reali non possono avere banda infinita per cui la trasmissione del segnale impulso rettangolare non sarà mai “ perfetta “ ma ci si accontenterà di una approssimazione ragionevole.
Ecco il grafico della trsformata dell'impulso rettangolare.
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